Se underseti=0stackrelkSigma ai=0, demonstrar que lim n infty underseti=0stackrelkSigma ai raizn+i=0.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, dado que
sumi=0^k ai = 0,
temos
limntoinftysumi=0^k airaizn+i=0
O conteúdo aqui é análise de limites de somas finitas e uso de desigualdades para estimar o termo geral.

Passo 2

Observe que para todo i vale
raizn+i = raizn + l(raizn+i-raiznr)
Logo
sumi=0^k airaizn+i =sumi=0^k ai,raizn +sumi=0^k ail(raizn+i-raiznr)
Como sumi=0^k ai=0, o primeiro somatório some, restando
sumi=0^k airaizn+i =sumi=0^k ail(raizn+i-raiznr)

Passo 3

Para estimar cada diferença use-se a fatoração
raizn+i-raizn =(raizn+i-raizn)(raizn+i+raizn)raizn+i+raizn =iraizn+i+raizn
Como raizn+i+raizn>=2raizn, temos
l|raizn+i-raiznr| <=i2raizn

Passo 4

Agora estimamos o valor absoluto da soma:
gl|sumi=0^k airaizn+igr| =gl|sumi=0^k ail(raizn+i-raiznr)gr| <=sumi=0^k |ai|;l|raizn+i-raiznr| <=12raiznsumi=0^k |ai|,i
Como sumi=0^k |ai|,i é uma constante finita, o lado direito tende a zero quando ntoinfty.

Resposta

0

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