(UF-RS) A disposição de números abaixo representa infinitas progressões.
ccccccc & & & 12 & & & & & 14 & 14 & 14 & & & & 18 & 18 & 18 & 18 & 18 116 & 116 & 116 & 116 & 116 & 116 & 116

Considere as afirmações referentes à disposição dada.
I) A décima linha é formada por 19 elementos.
II) Chamando-se de a1 o primeiro elemento de uma coluna qualquer, a soma dos termos dessa coluna é 2 a1.
III) A soma dos infinitos elementos da disposição é 3 .
Quais são verdadeiras?
a) Apenas I.
c) Apenas I e III.
e) I, II e III.
b) Apenas I e II.
d) Apenas II e III.

Passo 1

O enunciado dá uma disposição triangular infinita em que a linha n tem 2n-1 termos iguais a tfrac12^n. Precisamos verificar:
I) quantos elementos tem a 10ª linha;
II) se cada coluna forma uma progressão geométrica de soma 2a1;
III) se a soma de todos os termos é 3.

Passo 2

Para I, basta usar a fórmula do número de elementos na linha n, que é 2n-1. Assim, para n=10,
2cdot 10 - 1 = 20 - 1 = 19
Logo, a afirmação I é verdadeira.

Passo 3

Para II, note que uma coluna qualquer aparece pela primeira vez na linha n0, com valor inicial
a1 = 12^n0,
e em cada linha abaixo o valor divide por 2. Ou seja, a coluna é a PG infinita de razão r=tfrac12 e termo inicial a1. A soma é
a11 - r = a11 - tfrac12 = 2a1
Assim, a afirmação II também é verdadeira.

Passo 4

Para III, somamos todas as linhas:
S = sumn=1^infty (2n - 1),12^n = 2sumn=1^infty n2^n - sumn=1^infty 12^n
Sabemos que
sumn=1^infty n2^n = 2, sumn=1^infty 12^n = 1,
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S = 2cdot 2 - 1 = 4 - 1 = 3
Portanto, III é verdadeira.

Resposta

e) I, II e III.

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