(UF-RS) A disposição de números abaixo representa infinitas progressões.
Considere as afirmações referentes à disposição dada.
I) A décima linha é formada por 19 elementos.
II) Chamando-se de
o primeiro elemento de uma coluna qualquer, a soma dos termos dessa coluna é
.
III) A soma dos infinitos elementos da disposição é 3 .
Quais são verdadeiras?
a) Apenas I.
c) Apenas I e III.
e) I, II e III.
b) Apenas I e II.
d) Apenas II e III.
I) A décima linha é formada por 19 elementos.
II) Chamando-se de
III) A soma dos infinitos elementos da disposição é 3 .
a) Apenas I.
c) Apenas I e III.
e) I, II e III.
b) Apenas I e II.
d) Apenas II e III.
Passo 1
O enunciado dá uma disposição triangular infinita em que a linha
tem
termos iguais a
. Precisamos verificar:
I) quantos elementos tem a 10ª linha;
II) se cada coluna forma uma progressão geométrica de soma ;
III) se a soma de todos os termos é 3.
I) quantos elementos tem a 10ª linha;
II) se cada coluna forma uma progressão geométrica de soma
III) se a soma de todos os termos é 3.
Passo 2
Para I, basta usar a fórmula do número de elementos na linha
, que é
. Assim, para
,
Logo, a afirmação I é verdadeira.
Passo 3
Para II, note que uma coluna qualquer aparece pela primeira vez na linha
, com valor inicial
e em cada linha abaixo o valor divide por 2. Ou seja, a coluna é a PG infinita de razão
e termo inicial
. A soma é
Assim, a afirmação II também é verdadeira.
Passo 4
Para III, somamos todas as linhas:
Sabemos que
logo
Portanto, III é verdadeira.
Resposta
e) I, II e III.