(FGV-SP) Seja SA a soma dos n primeiros termos da progressão aritmética (8, 12, …), e SB a soma dos n primeiros termos da progressão aritmética (17, 19, …). Sabendo-se que n neq 0 e SA=SB. 0 único valor que n poderá assumir é:
a) Múltiplo de 3 .
c) Múltiplo de 7 .
e) Primo.
b) Múltiplo de 5 .
d) Divisor de 16.

Passo 1

O enunciado diz que a soma dos primeiros n termos da progressão aritmética Acolon 8,12,16,dots é igual à soma dos primeiros n termos da progressão aritmética Bcolon 17,19,21,dots, com nneq0. Para resolver, vamos usar a fórmula da soma dos n primeiros termos de uma PA:
Sn = n2l(2a1 + (n-1)dr),
onde a1 é o primeiro termo e d é a razão.

Passo 2

Aplicando a fórmula em A (com a1=8 e d=4), obtemos
SA = n2l(2cdot8 + (n-1)cdot4r)
Agora simplificamos:
SA = n2l(16 + 4n - 4r) = n2(4n + 12) = n,(2n + 6) = 2n^2 + 6n

Passo 3

Para B (com a1=17 e d=2), temos
SB = n2l(2cdot17 + (n-1)cdot2r)
Simplificando:
SB = n2(34 + 2n - 2) = n2(2n + 32) = n,(n + 16) = n^2 + 16n

Passo 4

Igualando SA e SB,
2n^2 + 6n = n^2 + 16n Longrightarrow 2n^2 - n^2 + 6n - 16n = 0 Longrightarrow n^2 - 10n = 0 Longrightarrow n(n - 10) = 0
Como nneq0, segue que n = 10.

Passo 5

O único valor possível é n=10. Entre as alternativas, 10 é múltiplo de 5.

Resposta

b) Múltiplo de 5.

Exercícios de Livros Relacionados