(UE-CE) Se f: 1,2,3, ldots, n R é a função definida por f(x)=4(2 x-1), então a soma de todos os números que estão na imagem de f é:
a) 4(2 n-1)^2
b) 4(2 n)^2
c) 4(2 n+1)^2
d) 4 n^2

Passo 1

O enunciado nos dá a função
fcolon1,2,3,dots,ntoR, f(x)=4,(2x-1)
e pede a soma de todos os valores f(1),f(2),dots,f(n). O conteúdo que usamos é soma de progressão aritmética, pois (2x-1) forma os primeiros n números ímpares.

Passo 2

Escrevemos a soma desejada e colocamos o fator 4 em evidência:
sumx=1^nf(x) = sumx=1^n4,(2x-1) = 4sumx=1^n(2x-1)

Passo 3

A sequência 2x-1x=1^n=1,3,5,dots,2n-1 é uma progressão aritmética de razão 2. Um resultado clássico é que a soma dos n primeiros ímpares vale n^2. Para ver isso rapidamente:
sumx=1^n(2x-1) = 2sumx=1^nx - sumx=1^n1 = 2cdotn(n+1)2 - n = n(n+1)-n = n^2

Passo 4

Substituindo esse resultado em
sumx=1^nf(x) = 4sumx=1^n(2x-1)
obtemos
sumx=1^nf(x)=4,n^2

Resposta

d) 4n^2

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