Distância de ponto a reta

  1. (UF-BA) Considere, no plano cartesiano, os pontos A(0,2), B(-2,4), C(0,6), A^prime(0,0), B^prime(6 raiz2, 0) e um ponto C^prime que tem coordenadas positivas.
    Sabendo que widehatBAC=widehatB^prime A^prime C^prime e widehatACB=widehatA^prime C^prime B^prime, determine o produto das coordenadas do ponto C’.

Passo 1

O enunciado dá os pontos
,A(0,2),,B(-2,4),,C(0,6) e
,A'(0,0),,B'(6raiz2,0), além de um ponto C' de coordenadas positivas.
As igualdades
widehatBAC=widehatB'A'C' e
widehatACB=widehatA'C'B' mostram que os triângulos ABC e A'B'C' são semelhantes, com correspondência
Along<=ftrightarrow A', Blong<=ftrightarrow B', Clong<=ftrightarrow C'
Para encontrar C' usaremos semelhança de triângulos (para obter distâncias fixas) e então resolver a interseção de duas circunferências.

Passo 2

Primeiro, achamos o fator de escala k entre os segmentos correspondentes AB e A'B'.
As distâncias são
AB=raiz(-2-0)^2+(4-2)^2=raiz4+4=2raiz2,
A'B'=raiz(6raiz2-0)^2+(0-0)^2=6raiz2
Logo,
k=A'B'AB=6raiz22raiz2=3

Passo 3

Pela semelhança, as distâncias de C' a A' e a B' valem
A'C'=kcdot AC e B'C'=kcdot BC
Como
AC=raiz(0-0)^2+(6-2)^2=4, BC=raiz(0+2)^2+(6-4)^2=raiz4+4=2raiz2,
segue
A'C'=3cdot4=12, B'C'=3cdot2raiz2=6raiz2

Passo 4

Isso significa que C'=(x,y) satisfaz simultaneamente
x^2+y^2=12^2=144
e
(x-6raiz2)^2+y^2=(6raiz2)^2=72
Subtraindo a segunda equação da primeira:
x^2+y^2-l[(x-6raiz2)^2+y^2r]=144-72 ;Longrightarrow; -,l(x^2-12raiz2x+72 -x^2r)=72
-(-12raiz2,x+72)=72 ;Longrightarrow; 12raiz2,x-72=72 ;Longrightarrow; 12raiz2,x=144 ;Longrightarrow; x=14412raiz2=6raiz2
Então
y^2=144-(6raiz2)^2=144-72=72 ;Longrightarrow; y=pm6raiz2

Passo 5

Como o ponto C' tem coordenadas positivas, escolhemos
C'=l(6raiz2,,6raiz2r)

Passo 6

O produto das coordenadas de C' é
(6raiz2)times(6raiz2)=36times2=72

Resposta

O produto das coordenadas de C' é 72.

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