(ITA-SP) A área do quadrilátero definido pelos eixos coordenados e as retas r: x-3 y+3=0 e s: 3 x+y-21=0, em unidades de área, é igual a:
a) 192
b) 10
c) 252
d) 272

Passo 1

O enunciado pede a área do quadrilátero formado pelos eixos coordenados (as retas x=0 e y=0) e pelas retas
r: x - 3y + 3 = 0
s: 3x + y - 21 = 0
O método será encontrar os vértices pela interseção dessas retas e, em seguida, aplicar a fórmula de área de polígono (shoelace).

Passo 2

Interseções de r com os eixos:
Em y=0 (eixo x):
x - 3cdot 0 + 3 = 0 ;Rightarrow; x = -3
fica fora do 1.º quadrante.
Em x=0 (eixo y):
-3y + 3 = 0 ;Rightarrow; y = 1
logo o ponto (0,1).

Passo 3

Interseções de s com os eixos:
Em y=0:
3x + 0 - 21 = 0 ;Rightarrow; x = 7,
ponto (7,0).
Em x=0:
y - 21 = 0 ;Rightarrow; y = 21,
mas esse ponto (0,21) fica acima de (0,1) e não entra no quadrilátero limitado por r e pelos eixos. Portanto, entre os eixos usamos apenas (7,0) e (0,1).

Passo 4

Interseção entre r e s: da reta r, x = 3y - 3. Substituindo em s:
3(3y-3) + y - 21 = 0
9y - 9 + y - 21 = 0
10y = 30 ;Rightarrow; y = 3, x = 3cdot3 - 3 = 6
Logo o ponto P = (6,3).

Passo 5

Os vértices do quadrilátero no 1.º quadrante são
(0,0), (7,0), (6,3), (0,1)
Ordenamos no sentido anti-horário: (0,0)to(7,0)to(6,3)to(0,1).

Passo 6

Aplicamos a fórmula do polígono (shoelace):
Área = 12l|sumi=1^4(xi yi+1 - xi+1 yi)r|, Á
onde (x5,y5)=(x1,y1)=(0,0). Calculamos
sum xi yi+1 =0cdot0 + 7cdot3 + 6cdot1 + 0cdot0 = 21 + 6 = 27,
sum xi+1 yi =7cdot0 + 6cdot0 + 0cdot3 + 0cdot1 = 0
Logo
Área = 12cdot 27 = 272 Á

Resposta

272 (alternativa d)

Exercícios de Livros Relacionados