(UF-CE) Os vértices do quadrado ABCD no plano cartesiano são A(-1, 3), B(1, 1), C(3, 3) e D(x, y). Então, os valores de x e y são:
a) x=1 e y=5
b) x=5 e y=1
c) x=1+raiz5 e y =1+raiz5
d) x=1-raiz5 e y=1
e) x=1 e y=1-raiz5

Passo 1

O enunciado dá os vértices de um quadrado ABCD nos pontos
A(-1,3), B(1,1), C(3,3) e pede o ponto D(x,y).
Conteúdo: geometria analítica de vetores no plano e propriedades do quadrado (lados iguais e adjacentes perpendiculares).

Passo 2

Calcular os vetores AB e BC:
AB = B - A = (1 - (-1),,1 - 3) = (2,-2),
BC = C - B = (3 - 1,,3 - 1) = (2,2)
Verificamos que |AB|=|BC|=raiz2^2+2^2=2raiz2 e
ABcdotBC=2cdot2+(-2)cdot2=0, ou seja, os lados têm o mesmo comprimento e são perpendiculares, confirmando que ABC forma dois lados consecutivos do quadrado.

Passo 3

Num quadrado, o quarto vértice D satisfaz
AD = BC
Logo,
D = A + BC = (-1,3) + (2,2) = (1,5)

Resposta

a) x=1 e y=5.

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