8.1.24 Pela distribuição gama f(x)= \begin{cases}\frac{1}{\beta^{\alpha} \Gamma(\alpha)} x^{\alpha-1} e^{-x / \beta}, & x>0 \\\\ 0, & x \leq 0\end{cases} mostre que (a) \langle x\rangle (média) =\alpha \beta, (b) \sigma^{2} (variância) \equiv\left\langle x^{2}\right\rangle-\langle x\rangle^{2}=\alpha \beta^{2}. Passo 1O enunciado dá a distribuição Gama com densidade f(x)= \begin{cases} \dfrac{1}{\beta^{\alpha}\,\Gamma(\alpha)}\,x^{\alpha-1}e^{-x/\beta},&x>0,\\[6pt] 0,&x\le0, \end{cases} e pede (a) a média \langle x\rangle e (b) a variância \sigma^2=\langle x^2\rangle-\langle x\rangle^2. Para resolver, vamos calcular os momentos de ordem 1 e 2 usando propriedades de integração e da função Gama, em particular \Gamma(s)=\int_{0}^{\infty}t^{s-1}e^{-t}dt \quad\text{e}\quad \Gamma(s+1)=s\,\Gamma(s).] Passo 2Cálculo da média \langle x\rangle. Por definição \langle x\rangle =\int_{0}^{\infty}x\,f(x)\,dx =\frac{1}{\beta^{\alpha}\Gamma(\alpha)} \int_{0}^{\infty}x^{\alpha}e^{-x/\beta}\,dx. Fazemos a mudança de variável t=x/\beta, de modo que x=\beta t e dx=\beta\,dt. Então \int_{0}^{\infty}x^{\alpha}e^{-x/\beta}\,dx =\int_{0}^{\infty}(\beta t)^{\alpha}e^{-t}\,\beta\,dt =\beta^{\alpha+1}\int_{0}^{\infty}t^{\alpha}e^{-t}\,dt =\beta^{\alpha+1}\Gamma(\alpha+1). Portanto \langle x\rangle =\frac{\beta^{\alpha+1}\Gamma(\alpha+1)}{\beta^{\alpha}\Gamma(\alpha)} =\beta\;\frac{\Gamma(\alpha+1)}{\Gamma(\alpha)} =\beta\,\alpha, ou seja \langle x\rangle=\alpha\,\beta. Passo 3Cálculo do segundo momento \langle x^2\rangle. Analogamente, \langle x^2\rangle =\int_{0}^{\infty}x^2\,f(x)\,dx =\frac{1}{\beta^{\alpha}\Gamma(\alpha)} \int_{0}^{\infty}x^{\alpha+1}e^{-x/\beta}\,dx. Usando de novo t=x/\beta, obtemos \int_{0}^{\infty}x^{\alpha+1}e^{-x/\beta}\,dx =\beta^{\alpha+2}\int_{0}^{\infty}t^{\alpha+1}e^{-t}\,dt =\beta^{\alpha+2}\Gamma(\alpha+2). Logo \langle x^2\rangle =\frac{\beta^{\alpha+2}\Gamma(\alpha+2)}{\beta^{\alpha}\Gamma(\alpha)} =\beta^2\;\frac{\Gamma(\alpha+2)}{\Gamma(\alpha)} =\beta^2\,\alpha(\alpha+1). Passo 4Cálculo da variância \sigma^2. Por definição \sigma^2 =\langle x^2\rangle-\langle x\rangle^2 =\beta^2\,\alpha(\alpha+1)-(\alpha\beta)^2 =\alpha\beta^2\bigl(\alpha+1-\alpha\bigr) =\alpha\,\beta^2. Resposta(a) \langle x\rangle=\alpha\beta (b) \sigma^2=\alpha\,\beta^2 MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETACálculo - George Arfken - Métodos Matemáticos para Engenharia e Física - 7ª Edição - Capítulo 8.1 - Ex. 8.1.24Exercícios de Livros Relacionados8.1.27 Escreva um subprograma de função F A C T(N) (variável independente de ponto fixo) para calcular N!. Inclua provisão para rejeição e mensagem de erro adequada se N for negativo. Nota: Para N inteiro pequeno, multiplicação direta é mais simples. Para N grande, a Equação (8.55), a série de Stirling, seria adequada. 8.1.1 Derive as relações de recorrência \Gamma(z+1)=z \Gamma(z) a partir da integral de Euler (Equação (8.5)), \Gamma(z)=\int_{0}^{\infty} e^{-t} t^{z-1} d t 8.1.3 Mostre que, à medida que s-n \rightarrow inteiro negativo, \frac{(s-n)!}{(2 s-2 n)!} \rightarrow \frac{(-1)^{n-s}(2 n-2 s)!}{(n-s)!} Aqui, s e n são inteiros, sendo s<n. Esse resultado pode ser usado para evitar fatoriais negativos, tal como nas representações de série das funções esféricas de Neumann e das funções de Legendre da segunda espécie. 8.1.30 A função fatorial expressa em forma integral pode ser avaliada pela quadratura de Gauss-Laguerre. Para uma fórmula de 10 pontos o x! resultante é teoricamente exato para x inteiro, de 0 até 19. O que acontece se x não for um inteiro? Use a quadratura de Gauss-Laguerre para avaliar x=0,0(0,1) 2,0. Tabule o erro absoluto como uma função de x. Valor de verificação. x! exato -x! quadratura =0,00034 para x=1,3. 8.1.16 O polinômio de Legendre pode ser escrito como \begin{aligned} P_{n}(\cos \theta)= & 2 \frac{(2 n-1) ! !}{(2 n) ! !}\left\{\cos n \theta+\frac{1}{1} \cdot \frac{n}{2 n-1} \cos (n-2) \theta\right. & +\frac{1 \cdot 3}{1 \cdot 2} \frac{n(n-1)}{(2 n-1)(2 n-3)} \cos (n-4) \theta & \left.+\frac{1 \cdot 3 \cdot 5}{1 \cdot 2 \cdot 3} \frac{n(n-1)(n-2)}{(2 n-1)(2 n-3)(2 n-5)} \cos (n-6) \theta+\cdots\right\} \end{aligned} Seja n=2 s+1. P_{n}(\cos \theta)=P_{2 s+1}(\cos \theta)=\sum_{m=0}^{s} a_{m} \cos (2 m+1) \theta Ache a_{m} em termos de fatoriais e de fatoriais duplos.