8.1.24 Pela distribuição gama
f(x)= \begin{cases}\frac{1}{\beta^{\alpha} \Gamma(\alpha)} x^{\alpha-1} e^{-x / \beta}, & x>0 \\\\ 0, & x \leq 0\end{cases}
mostre que
(a) \langle x\rangle (média) =\alpha \beta,
(b) \sigma^{2} (variância) \equiv\left\langle x^{2}\right\rangle-\langle x\rangle^{2}=\alpha \beta^{2}.

Passo 1

O enunciado dá a distribuição Gama com densidade
f(x)= \begin{cases} \dfrac{1}{\beta^{\alpha}\,\Gamma(\alpha)}\,x^{\alpha-1}e^{-x/\beta},&x>0,\\[6pt] 0,&x\le0, \end{cases}
e pede (a) a média \langle x\rangle e (b) a variância \sigma^2=\langle x^2\rangle-\langle x\rangle^2. Para resolver, vamos calcular os momentos de ordem 1 e 2 usando propriedades de integração e da função Gama, em particular
\Gamma(s)=\int_{0}^{\infty}t^{s-1}e^{-t}dt \quad\text{e}\quad \Gamma(s+1)=s\,\Gamma(s).]

Passo 2

Cálculo da média \langle x\rangle. Por definição
\langle x\rangle =\int_{0}^{\infty}x\,f(x)\,dx =\frac{1}{\beta^{\alpha}\Gamma(\alpha)} \int_{0}^{\infty}x^{\alpha}e^{-x/\beta}\,dx.
Fazemos a mudança de variável t=x/\beta, de modo que x=\beta t e dx=\beta\,dt. Então
\int_{0}^{\infty}x^{\alpha}e^{-x/\beta}\,dx =\int_{0}^{\infty}(\beta t)^{\alpha}e^{-t}\,\beta\,dt =\beta^{\alpha+1}\int_{0}^{\infty}t^{\alpha}e^{-t}\,dt =\beta^{\alpha+1}\Gamma(\alpha+1).
Portanto
\langle x\rangle =\frac{\beta^{\alpha+1}\Gamma(\alpha+1)}{\beta^{\alpha}\Gamma(\alpha)} =\beta\;\frac{\Gamma(\alpha+1)}{\Gamma(\alpha)} =\beta\,\alpha,
ou seja
\langle x\rangle=\alpha\,\beta.

Passo 3

Cálculo do segundo momento \langle x^2\rangle. Analogamente,
\langle x^2\rangle =\int_{0}^{\infty}x^2\,f(x)\,dx =\frac{1}{\beta^{\alpha}\Gamma(\alpha)} \int_{0}^{\infty}x^{\alpha+1}e^{-x/\beta}\,dx.
Usando de novo t=x/\beta, obtemos
\int_{0}^{\infty}x^{\alpha+1}e^{-x/\beta}\,dx =\beta^{\alpha+2}\int_{0}^{\infty}t^{\alpha+1}e^{-t}\,dt =\beta^{\alpha+2}\Gamma(\alpha+2).
Logo
\langle x^2\rangle =\frac{\beta^{\alpha+2}\Gamma(\alpha+2)}{\beta^{\alpha}\Gamma(\alpha)} =\beta^2\;\frac{\Gamma(\alpha+2)}{\Gamma(\alpha)} =\beta^2\,\alpha(\alpha+1).

Passo 4

Cálculo da variância \sigma^2. Por definição
\sigma^2 =\langle x^2\rangle-\langle x\rangle^2 =\beta^2\,\alpha(\alpha+1)-(\alpha\beta)^2 =\alpha\beta^2\bigl(\alpha+1-\alpha\bigr) =\alpha\,\beta^2.

Resposta

(a) \langle x\rangle=\alpha\beta
(b) \sigma^2=\alpha\,\beta^2

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