8.1.30 A função fatorial expressa em forma integral pode ser avaliada pela quadratura de Gauss-Laguerre. Para uma fórmula de 10 pontos o resultante é teoricamente exato para inteiro, de 0 até 19. O que acontece se não for um inteiro? Use a quadratura de Gauss-Laguerre para avaliar . Tabule o erro absoluto como uma função de .
Valor de verificação. para .
Passo 1
O enunciado pede para aproximar
usando a quadratura de Gauss–Laguerre de pontos para valores de indo de até em incrementos de , e comparar com o valor exato . O conteúdo é integração numérica por quadratura especial (Laguerre) e uso da função Gamma.
Passo 2
A fórmula de Gauss–Laguerre de pontos para é
onde os e são:
Para genérico, a aproximação é
Passo 3
Para cada calculamos . o valor exato (usando qualquer rotina de Gamma); . o valor aproximado pela soma acima; . o erro absoluto .
Passo 4
Segue a tabulação aproximada do erro absoluto em função de x. Note que em x inteiro o erro é zero (a fórmula é exata para polinômios até grau 19), e atinge máximo em torno de xapprox1,3.