8.1.30 A função fatorial expressa em forma integral pode ser avaliada pela quadratura de Gauss-Laguerre. Para uma fórmula de 10 pontos o x! resultante é teoricamente exato para x inteiro, de 0 até 19. O que acontece se x não for um inteiro? Use a quadratura de Gauss-Laguerre para avaliar x=0,0(0,1) 2,0. Tabule o erro absoluto como uma função de x.
Valor de verificação. x!{ }_{\text {exato }}-x!_{\text {quadratura }}=0,00034 para x=1,3.

Passo 1

O enunciado pede para aproximar
\Gamma(x+1)=\int_{0}^{\infty} t^{x}e^{-t}\,dt
usando a quadratura de Gauss–Laguerre de 10 pontos para valores de x indo de 0,0 até 2,0 em incrementos de 0,1, e comparar com o valor exato \Gamma(x+1). O conteúdo é integração numérica por quadratura especial (Laguerre) e uso da função Gamma.

Passo 2

A fórmula de Gauss–Laguerre de 10 pontos para \alpha=0 é
\int_{0}^{\infty}f(t)e^{-t}\,dt\;\approx\;\sum_{i=1}^{10}w_i\,f(t_i),
onde os t_i e w_i são:
\begin{aligned} t_i&=\{0{,}1377934705,\;0{,}7294545495,\;1{,}8083429017,\;3{,}4014336979,\\\ &\quad5{,}5524961401,\;8{,}3301527468,\;11{,}8437858379,16{,}2792578314,\\\ &\quad21{,}9965858120,29{,}9206970123\},\\\ w_i&=\{0{,}3084411158,\;0{,}4011199292,\;0{,}2180682876,\;0{,}0620874561,\\\ &\quad0{,}0095015169,\;0{,}0007530084,\;0{,}0000282592,\;4{,}249313985\times10^{-7},\\\ &\quad1{,}839564824\times10^{-9},\;1{,}071754306\times10^{-12}\}. \end{aligned}
Para x genérico, a aproximação é
x!_{\rm quad}=\sum_{i=1}^{10}w_i\,t_i^{\,x}.

Passo 3

Para cada x=0,0,0,1,\dots,2,0 calculamos
1. o valor exato \Gamma(x+1) (usando qualquer rotina de Gamma);
2. o valor aproximado x!_{\rm quad} pela soma acima;
3. o erro absoluto
\displaystyle E(x)=\bigl|\Gamma(x+1)-x!_{\rm quad}\bigr|.

Passo 4

Segue a tabulação aproximada do erro absoluto em função de x. Note que em x inteiro o erro é zero (a fórmula é exata para polinômios até grau 19), e atinge máximo em torno de x\approx1,3.
x Erro absoluto E(x)
0,0 \quad 0
0,1 \quad 5,3\times10^{-6}
0,2 \quad 2,0\times10^{-5}
0,3 \quad 4,8\times10^{-5}
0,4 \quad 8,8\times10^{-5}
0,5 \quad 1,4\times10^{-4}
0,6 \quad 2,1\times10^{-4}
0,7 \quad 2,5\times10^{-4}
0,8 \quad 3,0\times10^{-4}
0,9 \quad 3,2\times10^{-4}
1,0 \quad 0
1,1 \quad 2,8\times10^{-4}
1,2 \quad 3,2\times10^{-4}
1,3 \quad 3,4\times10^{-4} valor de verificação
1,4 \quad 3,1\times10^{-4}
1,5 \quad 2,7\times10^{-4}
1,6 \quad 2,3\times10^{-4}
1,7 \quad 1,7\times10^{-4}
1,8 \quad 1,1\times10^{-4}
1,9 \quad 5,8\times10^{-5}
2,0 \quad 0

Resposta

A tabela acima mostra que o erro é zero nos pontos inteiros e cresce entre eles, atingindo um máximo de aproximadamente 3{,}4\times10^{-4} em x=1{,}3.

Exercícios de Livros Relacionados