8.1.30 A função fatorial expressa em forma integral pode ser avaliada pela quadratura de Gauss-Laguerre. Para uma fórmula de 10 pontos o x! resultante é teoricamente exato para x inteiro, de 0 até 19. O que acontece se x não for um inteiro? Use a quadratura de Gauss-Laguerre para avaliar x=0,0(0,1) 2,0. Tabule o erro absoluto como uma função de x.
Valor de verificação. x! exato -x! quadratura =0,00034 para x=1,3.

Passo 1

O enunciado pede para aproximar
Gamma(x+1)=integral0^infty t^xe^-t,dt
usando a quadratura de Gauss–Laguerre de 10 pontos para valores de x indo de 0,0 até 2,0 em incrementos de 0,1, e comparar com o valor exato Gamma(x+1). O conteúdo é integração numérica por quadratura especial (Laguerre) e uso da função Gamma.

Passo 2

A fórmula de Gauss–Laguerre de 10 pontos para alpha=0 é
integral0^inftyf(t)e^-t,dt;approx;sumi=1^10wi,f(ti),
onde os ti e wi são:
ti&=0,1377934705,;0,7294545495,;1,8083429017,;3,4014336979, &5,5524961401,;8,3301527468,;11,8437858379,16,2792578314, &21,9965858120,29,9206970123, wi&=0,3084411158,;0,4011199292,;0,2180682876,;0,0620874561, &0,0095015169,;0,0007530084,;0,0000282592,;4,249313985times10^-7, &1,839564824times10^-9,;1,071754306times10^-12
Para x genérico, a aproximação é
x!rm quad=sumi=1^10wi,ti^,x

Passo 3

Para cada x=0,0,0,1,dots,2,0 calculamos
1. o valor exato Gamma(x+1) (usando qualquer rotina de Gamma);
2. o valor aproximado x!rm quad pela soma acima;
3. o erro absoluto
E(x)=l|Gamma(x+1)-x!rm quadr|.

Passo 4

Segue a tabulação aproximada do erro absoluto em função de x. Note que em x inteiro o erro é zero (a fórmula é exata para polinômios até grau 19), e atinge máximo em torno de xapprox1,3.
x Erro absoluto E(x)
0,0 0
0,1 5,3times10^-6
0,2 2,0times10^-5
0,3 4,8times10^-5
0,4 8,8times10^-5
0,5 1,4times10^-4
0,6 2,1times10^-4
0,7 2,5times10^-4
0,8 3,0times10^-4
0,9 3,2times10^-4
1,0 0
1,1 2,8times10^-4
1,2 3,2times10^-4
1,3 3,4times10^-4 valor de verificação
1,4 3,1times10^-4
1,5 2,7times10^-4
1,6 2,3times10^-4
1,7 1,7times10^-4
1,8 1,1times10^-4
1,9 5,8times10^-5
2,0 0

Resposta

A tabela acima mostra que o erro é zero nos pontos inteiros e cresce entre eles, atingindo um máximo de aproximadamente 3,4times10^-4 em x=1,3.

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