8.1.30 A função fatorial expressa em forma integral pode ser avaliada pela quadratura de Gauss-Laguerre. Para uma fórmula de 10 pontos o x! resultante é teoricamente exato para x inteiro, de 0 até 19. O que acontece se x não for um inteiro? Use a quadratura de Gauss-Laguerre para avaliar x=0,0(0,1) 2,0. Tabule o erro absoluto como uma função de x.
Valor de verificação. x!{ }_{\text {exato }}-x!_{\text {quadratura }}=0,00034 para x=1,3.
Passo 1
O enunciado pede para aproximar
\Gamma(x+1)=\int_{0}^{\infty} t^{x}e^{-t}\,dt
usando a quadratura de Gauss–Laguerre de 10 pontos para valores de x indo de 0,0 até 2,0 em incrementos de 0,1, e comparar com o valor exato \Gamma(x+1). O conteúdo é integração numérica por quadratura especial (Laguerre) e uso da função Gamma.
Passo 2
A fórmula de Gauss–Laguerre de 10 pontos para \alpha=0 é
Para cada x=0,0,0,1,\dots,2,0 calculamos 1. o valor exato \Gamma(x+1) (usando qualquer rotina de Gamma); 2. o valor aproximado x!_{\rm quad} pela soma acima; 3. o erro absoluto \displaystyle E(x)=\bigl|\Gamma(x+1)-x!_{\rm quad}\bigr|.
Passo 4
Segue a tabulação aproximada do erro absoluto em função de x. Note que em x inteiro o erro é zero (a fórmula é exata para polinômios até grau 19), e atinge máximo em torno de x\approx1,3.