8.1.3 Mostre que, à medida que
inteiro negativo,
Aqui,
e
são inteiros, sendo
. Esse resultado pode ser usado para evitar fatoriais negativos, tal como nas representações de série das funções esféricas de Neumann e das funções de Legendre da segunda espécie.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, quando
tende a um inteiro negativo, o quociente de fatoriais
tende a
Aqui
e
são inteiros com
. Para lidar com fatoriais de argumento negativo, vamos usar a função Gama, que estende o fatorial por continuidade analítica e tem pólos simples nos inteiros não-positivos.
Passo 2
Reescrevemos os fatoriais em termos de
:
Portanto o limite que queremos é
Passo 3
Como
(com
), façamos
Então
Usamos a expansão da função Gama perto de um pólo simples em inteiro não-positivo: para
e
,
Aqui isso dá
pois
.
Passo 4
Agora calculamos a razão assintótica:
Mas
logo
Finalmente, como
, obtemos