8.1.3 Mostre que, à medida que s-n \rightarrow inteiro negativo,
\frac{(s-n)!}{(2 s-2 n)!} \rightarrow \frac{(-1)^{n-s}(2 n-2 s)!}{(n-s)!}
Aqui, s e n são inteiros, sendo s<n. Esse resultado pode ser usado para evitar fatoriais negativos, tal como nas representações de série das funções esféricas de Neumann e das funções de Legendre da segunda espécie.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, quando s-n tende a um inteiro negativo, o quociente de fatoriais
\frac{(s-n)!}{(2s-2n)!}
tende a
\frac{(-1)^{\,n-s}\,(2n-2s)!}{(n-s)!}.
Aqui s e n são inteiros com s<n. Para lidar com fatoriais de argumento negativo, vamos usar a função Gama, que estende o fatorial por continuidade analítica e tem pólos simples nos inteiros não-positivos.

Passo 2

Reescrevemos os fatoriais em termos de \Gamma:
(s-n)! = \Gamma(s-n+1), \qquad (2s-2n)! = \Gamma(2s-2n+1).
Portanto o limite que queremos é
L \;=\;\frac{(s-n)!}{(2s-2n)!} \;=\;\frac{\Gamma(s-n+1)}{\Gamma(2s-2n+1)}.

Passo 3

Como s-n\to -k (com k=n-s>0), façamos
s-n=-k+\varepsilon,\quad \varepsilon\to0^+.
Então
2s-2n=-2k+2\varepsilon.
Usamos a expansão da função Gama perto de um pólo simples em inteiro não-positivo: para m\in\mathbb{N} e \delta\to0,
\Gamma(1-m+\delta)\sim \frac{(-1)^{m-1}}{(m-1)!\,\delta}.
Aqui isso dá
\Gamma(s-n+1)=\Gamma(1-k+\varepsilon)\sim \frac{(-1)^{\,k-1}}{(k-1)!\,\varepsilon},
\Gamma(2s-2n+1)=\Gamma(1-2k+2\varepsilon)\sim \frac{(-1)^{2k-1}}{(2k-1)!\,(2\varepsilon)} =-\frac{1}{(2k-1)!\,(2\varepsilon)},
pois (-1)^{2k-1}=-1.

Passo 4

Agora calculamos a razão assintótica:
L\sim \frac{\displaystyle\frac{(-1)^{k-1}}{(k-1)!\,\varepsilon}} {\displaystyle -\frac{1}{(2k-1)!\,(2\varepsilon)}} = \frac{(-1)^{k-1}}{(k-1)!\,\varepsilon}\times\bigl(-\,(2k-1)!\,2\varepsilon\bigr) = (-1)^k\;\frac{2\,(2k-1)!}{(k-1)!}.
Mas
2\,(2k-1)! = \frac{(2k)!}{k}, \qquad k!=(k)\,(k-1)!,
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L =(-1)^k\,\frac{(2k)!}{k!}.
Finalmente, como k=n-s, obtemos
\frac{(s-n)!}{(2s-2n)!}\;\longrightarrow\; (-1)^{\,n-s}\,\frac{(2n-2s)!}{(n-s)!}.

Resposta

\frac{(s-n)!}{(2s-2n)!} \;\longrightarrow\; (-1)^{\,n-s}\,\frac{(2n-2s)!}{(n-s)!}.

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