8.1.3 Mostre que, à medida que s-n inteiro negativo,
(s-n)!(2 s-2 n)! (-1)^n-s(2 n-2 s)!(n-s)!
Aqui, s e n são inteiros, sendo s<n. Esse resultado pode ser usado para evitar fatoriais negativos, tal como nas representações de série das funções esféricas de Neumann e das funções de Legendre da segunda espécie.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, quando s-n tende a um inteiro negativo, o quociente de fatoriais
(s-n)!(2s-2n)!
tende a
(-1)^,n-s,(2n-2s)!(n-s)!
Aqui s e n são inteiros com s<n. Para lidar com fatoriais de argumento negativo, vamos usar a função Gama, que estende o fatorial por continuidade analítica e tem pólos simples nos inteiros não-positivos.

Passo 2

Reescrevemos os fatoriais em termos de Gamma:
(s-n)! = Gamma(s-n+1), (2s-2n)! = Gamma(2s-2n+1)
Portanto o limite que queremos é
L ;=;(s-n)!(2s-2n)! ;=;Gamma(s-n+1)Gamma(2s-2n+1)

Passo 3

Como s-nto -k (com k=n-s>0), façamos
s-n=-k+varepsilon, varepsilonto0^+
Então
2s-2n=-2k+2varepsilon
Usamos a expansão da função Gama perto de um pólo simples em inteiro não-positivo: para minN e de<ato0,
Gamma(1-m+de<a)sim (-1)^m-1(m-1)!,de<a
Aqui isso dá
Gamma(s-n+1)=Gamma(1-k+varepsilon)sim (-1)^,k-1(k-1)!,varepsilon,
Gamma(2s-2n+1)=Gamma(1-2k+2varepsilon)sim (-1)^2k-1(2k-1)!,(2varepsilon) =-1(2k-1)!,(2varepsilon),
pois (-1)^2k-1=-1.

Passo 4

Agora calculamos a razão assintótica:
Lsim (-1)^k-1(k-1)!,varepsilon -1(2k-1)!,(2varepsilon) = (-1)^k-1(k-1)!,varepsilontimesl(-,(2k-1)!,2varepsilonr) = (-1)^k;2,(2k-1)!(k-1)!
Mas
2,(2k-1)! = (2k)!k, k!=(k),(k-1)!,
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L =(-1)^k,(2k)!k!
Finalmente, como k=n-s, obtemos
(s-n)!(2s-2n)!;longrightarrow; (-1)^,n-s,(2n-2s)!(n-s)!

Resposta

(s-n)!(2s-2n)! ;longrightarrow; (-1)^,n-s,(2n-2s)!(n-s)!

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