8.1.1 Derive as relações de recorrência
\Gamma(z+1)=z \Gamma(z)
a partir da integral de Euler (Equação (8.5)),
\Gamma(z)=\int_{0}^{\infty} e^{-t} t^{z-1} d t

Passo 1

O enunciado pede para derivar a relação de recorrência
\Gamma(z+1)=z\,\Gamma(z)
a partir da definição de Euler
\Gamma(z)=\int_{0}^{\infty}e^{-t}t^{z-1}\,dt.
Para isso, vamos escrever \Gamma(z+1) como integral e aplicar integração por partes.

Passo 2

Reescrevendo \Gamma(z+1) pela definição de Euler, obtemos
\Gamma(z+1) =\int_{0}^{\infty}e^{-t}\,t^{(z+1)-1}\,dt =\int_{0}^{\infty}e^{-t}\,t^{z}\,dt.

Passo 3

Escolhemos as funções para integração por partes:
u = t^z, logo
du = z\,t^{z-1}\,dt,
e
dv = e^{-t}\,dt, logo
v = -e^{-t}.

Passo 4

Pela fórmula
\int_{0}^{\infty}u\,dv=\left.uv\right|_{0}^{\infty}-\int_{0}^{\infty}v\,du,
o termo de contorno é
\left.-t^z e^{-t}\right|_{0}^{\infty}=0,
pois para \Re(z)>0 tem-se t^z e^{-t}\to0 quando t\to\infty e também vale zero em t=0.

Passo 5

Como o termo de contorno some, resta
\Gamma(z+1) =-\int_{0}^{\infty}v\,du =-\int_{0}^{\infty}\bigl(-e^{-t}\bigr)\bigl(z\,t^{z-1}\,dt\bigr) = z\int_{0}^{\infty}e^{-t}\,t^{z-1}\,dt = z\,\Gamma(z).

Resposta

\Gamma(z+1)=z\,\Gamma(z)

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