(UF-AM) Dividindo o polinômio P(x)=2 x^4-x^3-7 x^2+31 x-10 pelo polinômio Q(x)=x^2-3 x+5 obtemos o polinômio:
a) 2 x^2-5 x+2
b) 2 x^2+5 x-2
c) 2 x^2-5 x-2
d) 2 x^3+5 x-2

Passo 1

O enunciado pede dividir o polinômio P(x)=2x^4 - x^3 - 7x^2 + 31x - 10 pelo polinômio Q(x)=x^2 - 3x + 5. O conteúdo é divisão de polinômios por chave (divisão longa), em que determinamos termo a termo o quociente e subtraímos para obter o resto.

Passo 2

Começamos dividindo o termo principal de P pelo termo principal de Q:
2x^4x^2=2x^2
Multiplicamos 2x^2 por Q(x), obtendo 2x^4 - 6x^3 + 10x^2, e subtraímos de P(x). O novo polinômio resto é
(2x^4 - x^3 - 7x^2) - (2x^4 - 6x^3 + 10x^2) =5x^3 - 17x^2,
depois trazemos o termo +31x, ficando 5x^3 -17x^2 +31x.

Passo 3

Agora dividimos 5x^3 por x^2:
5x^3x^2=5x
Multiplicando 5x por Q(x) 5x^3 - 15x^2 + 25x. Subtraindo do resto atual:
(5x^3 -17x^2 +31x) - (5x^3 -15x^2 +25x) =-2x^2 +6x,
e trazendo o -10, temos -2x^2 +6x -10.

Passo 4

Dividimos -2x^2 por x^2:
-2x^2x^2=-2
Multiplicando -2 por Q(x) resulta em -2x^2 +6x -10. Subtraindo desse polinômio obtemos resto zero, confirmando divisão exata.

Passo 5

Os termos coletados formam o quociente
2x^2 + 5x - 2
sem resto.

Resposta

2x^2 + 5x - 2

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