(UF-CE) Os números complexos distintos z e w são tais que z+w=1 e z cdot w=1.
a) Calcule |z|.
b) Calcule o valor z^4+w^4 sabendo-se que z está no primeiro quadrante do plano complexo.

Passo 1

O enunciado dá dois números complexos distintos z e w tais que
z+w=1 e z,w=1,
pede a) o módulo de z e b) o valor de z^4+w^4 sabendo que z está no primeiro quadrante.
O conteúdo necessário envolve as relações de Viète para raízes de polinômios, cálculo de módulo de número complexo e uso da forma exponencial (fórmula de De Moivre).

Passo 2

Pelas relações de Viète, z e w são raízes do polinômio
t^2 - (z+w),t + z,w = 0
Substituindo z+w=1 e z,w=1, obtemos
t^2 - t + 1 = 0
.

Passo 3

As raízes desse polinômio são
t = 1 pm iraiz32
Como z está no primeiro quadrante (parte imaginária positiva), escolhemos
z = 1 + iraiz32, w = 1 - iraiz32

Passo 4

Calculamos o módulo de z:
|z| = raizl(tfrac12r)^2 + l(tfracraiz32r)^2 = raiztfrac14 + tfrac34 = 1

Passo 5

Para z^4 + w^4, note que
z = e^,ipi/3 e w = e^-,ipi/3
pela forma exponencial. Logo, pela fórmula de De Moivre,
z^4 + w^4 = e^4ipi/3 + e^-4ipi/3 = 2cos!l(tfrac4pi3r) = -1

Resposta

a) |z| = 1
b) z^4 + w^4 = -1

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