(UF-CE) Os números complexos distintos
e w são tais que
e
.
a) Calcule
.
b) Calcule o valor
sabendo-se que
está no primeiro quadrante do plano complexo.
a) Calcule
b) Calcule o valor
Passo 1
O enunciado dá dois números complexos distintos
e
tais que
pede a) o módulo de
e b) o valor de
sabendo que
está no primeiro quadrante.
O conteúdo necessário envolve as relações de Viète para raízes de polinômios, cálculo de módulo de número complexo e uso da forma exponencial (fórmula de De Moivre).
O conteúdo necessário envolve as relações de Viète para raízes de polinômios, cálculo de módulo de número complexo e uso da forma exponencial (fórmula de De Moivre).
Passo 2
Pelas relações de Viète,
e
são raízes do polinômio
Substituindo
e
, obtemos
.
Passo 3
As raízes desse polinômio são
Como
está no primeiro quadrante (parte imaginária positiva), escolhemos
Passo 4
Calculamos o módulo de
:
Passo 5
Para
, note que
pela forma exponencial. Logo, pela fórmula de De Moivre,
Resposta
a)
b)
b)