(ITA-SP) Se alpha in(0,2 pi) é o argumento de um número complexo z neq 0 e n é um número natural tal que (z|z|)^n= isen ( n alpha ), então é verdade que:
a) 2 n alpha é múltiplo de 2 pi.
d) 2 n alpha-pi é múltiplo não nulo de 2 .
b) 2 n alpha-pi é múltiplo de 2 pi.
e) n alpha-2 pi é múltiplo de pi.

Passo 1

O enunciado diz que tem argumento e que, para ,
O conteúdo que vamos usar é a fórmula de Euler no círculo unitário: se então , e também a comparação de partes real e imaginária.

Passo 2

Como tem módulo e argumento , temos
Pelo enunciado isso é igual a . Logo, comparando as partes real e imaginária em
vemos imediatamente que

Passo 3

A equação cos(nalpha)=0 tem solução geral
nalpha=pi2+kpi, kinZ

Passo 4

Multiplicando por 2, obtemos
2nalpha=pi+2kpi Longrightarrow 2nalpha-pi=2kpi,
ou seja, 2nalpha-pi é múltiplo inteiro de 2pi.

Resposta

b) 2nalpha-pi é múltiplo de 2pi.

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