(UF-PI) Para todo , a fórmula de Euler para exponencial de números complexos é dada por . Analise as afirmativas abaixo, e assinale V (verdadeira) ou F (falsa).
O módulo do número complexo é igual a 1.
Existe tal que .
, para todo número inteiro .
Passo 1
O enunciado usa a fórmula de Euler
para todo . Vamos analisar quatro afirmações sobre o módulo, zeros e potências de e também a potência , usando as propriedades de números complexos e da exponencial complexa.
Passo 2
A primeira afirmação diz que o módulo de é igual a . Calculamos
Logo, a afirmação 1 é Verdadeira.
Passo 3
A segunda afirmação afirma que existe xinR tal que e^ix=0. Pelo resultado do Passo 2, e^ix está sempre no círculo de raio 1 no plano complexo, jamais atinge 0. Portanto, a afirmação 2 é Falsa.
Passo 4
A terceira afirmação diz que e^ikpi=1 para todo inteiro k. Usando Euler:
e^ikpi = cos(kpi)+isin(kpi) = (-1)^k
Como (-1)^k=1 apenas quando k é par e vale -1 quando k é ímpar, a afirmação 3 é Falsa.
Passo 5
A quarta afirmação é i^i = e^pi2. Tomando a forma principal de i:
Logo, o valor principal de i^i é e^-pi2, não e^pi2. A afirmação 4 é Falsa.
Resposta
V
F
F
F
Cálculo - Gelson Iezzi - Fundamentos de Matemática Elementar - Vol 6: Complexos, polinômios e equações - 8ª Edição - Capítulo Questões de vestibulares.Questões de vestibulares - Ex. 27