(UF-PI) Para todo x in R, a fórmula de Euler para exponencial de números complexos é dada por e^ix=cos (x)+i sen(x). Analise as afirmativas abaixo, e assinale V (verdadeira) ou F (falsa).
  1. O módulo do número complexo e^i x é igual a 1.
  2. Existe x in R tal que e^i x=0.
  3. e^i k pi=1, para todo número inteiro k.
  4. i^i=e^pi2

Passo 1

O enunciado usa a fórmula de Euler
e^ix = cos(x) + isin(x)
para todo xinR. Vamos analisar quatro afirmações sobre o módulo, zeros e potências de e^ix e também a potência i^i, usando as propriedades de números complexos e da exponencial complexa.

Passo 2

A primeira afirmação diz que o módulo de e^ix é igual a 1. Calculamos
l|e^ixr| = l|cos(x) + isin(x)r| = raizcos^2(x) + sin^2(x) = raiz1 = 1
Logo, a afirmação 1 é Verdadeira.

Passo 3

A segunda afirmação afirma que existe xinR tal que e^ix=0. Pelo resultado do Passo 2, e^ix está sempre no círculo de raio 1 no plano complexo, jamais atinge 0. Portanto, a afirmação 2 é Falsa.

Passo 4

A terceira afirmação diz que e^ikpi=1 para todo inteiro k. Usando Euler:
e^ikpi = cos(kpi)+isin(kpi) = (-1)^k
Como (-1)^k=1 apenas quando k é par e vale -1 quando k é ímpar, a afirmação 3 é Falsa.

Passo 5

A quarta afirmação é i^i = e^pi2. Tomando a forma principal de i:
i = e^ipi2 Longrightarrow i^i = l(e^ipi2r)^i = e^,icdot i,pi2 = e^-pi2
Logo, o valor principal de i^i é e^-pi2, não e^pi2. A afirmação 4 é Falsa.

Resposta

  1. V
  2. F
  3. F
  4. F

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