Dividir f(x)=x^7-1 por x-1. Resp. f(x)=(x-1)(x^6+x^6+x^4+ +x^3+x^2+x+1).

Passo 1

O enunciado pede dividir o polinômio f(x)=x^7-1 pelo binômio x-1. Isso envolve conteúdo de divisão de polinômios, em particular o Teorema do Resto e divisão sintética.

Passo 2

Usamos o Teorema do Resto para verificar se x-1 é fator de f. Calculamos
f(1)=1^7-1=0,
portanto x-1 divide f(x) sem deixar resto.

Passo 3

Para encontrar o quociente, aplicamos divisão sintética com a raiz 1. Os coeficientes de f(x) são
1,,0,,0,,0,,0,,0,,0,,-1
Ao trazer o primeiro coeficiente 1 para baixo, multiplicá-lo por 1 e somar sucessivamente, obtemos que o quociente tem coeficientes
1,,1,,1,,1,,1,,1,,1
e o resto é 0. Logo, o quociente é
Q(x)=x^6 + x^5 + x^4 + x^3 + x^2 + x + 1

Passo 4

Escrevendo a fatoração completa da divisão, temos
f(x)=(x-1)l(x^6 + x^5 + x^4 + x^3 + x^2 + x + 1r)

Resposta

f(x)=(x-1)(x^6 + x^5 + x^4 + x^3 + x^2 + x + 1)

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