Exprimir em função dos senos e cosenos dos arcos múltiplos, as expressões:
cos ^2 x, cos ^3 x, cos ^4 x, cos ^5 x cos ^6 x ; sen^2 x, sen^3 x, sen^4 x, sen^5 x.

Passo 1

O enunciado pede para escrever as potências cos^nx e sin^nx (para n=2,3,4,5,6 no caso do cosseno e n=2,3,4,5 no caso do seno) como combinações de cos(kx) ou sin(kx) com k inteiro. Vamos usar as fórmulas de ângulo duplo e as fórmulas produto-soma (resultado do Teorema de De Moivre).

Passo 2

Primeiro, anotamos as identidades básicas de redução de potência e produto-soma:
cos^2x=1+cos2x2, sin^2x=1-cos2x2
cos acos b=tfrac12l[cos(a+b)+cos(a-b)r],
sin asin b=tfrac12l[cos(a-b)-cos(a+b)r],
sin acos b=tfrac12l[sin(a+b)+sin(a-b)r]

Passo 3

Usamos cos^3x=cos xcdotcos^2x e sin^3x=sin xcdotsin^2x, aplicando acima:
cos^3x =cos x;1+cos2x2 =12l(cos x+cos xcos2xr) =14l(3cos x+cos3xr),
sin^3x =sin x;1-cos2x2 =12l(sin x-sin xcos2xr) =14l(3sin x-sin3xr)

Passo 4

Para as quartas potências, elevamos ao quadrado as quadráticas:
cos^4x =l(cos^2xr)^2 =l(1+cos2x2r)^2 =18l(3+4cos2x+cos4xr),
sin^4x =l(sin^2xr)^2 =l(1-cos2x2r)^2 =18l(3-4cos2x+cos4xr)

Passo 5

Para as quintas potências, multiplicamos a quarta potência por cos x ou sin x e usamos produto-soma:
cos^5x =cos^4x;cos x =18l(3+4cos2x+cos4xr)cos x =116l(10cos x+5cos3x+cos5xr),
sin^5x =sin^4x;sin x =18l(3-4cos2x+cos4xr)sin x =116l(10sin x-5sin3x+sin5xr)

Passo 6

Para cos^6x, podemos usar l(cos^3xr)^2:
cos^6x =l(tfrac14(3cos x+cos3x)r)^2 =132l(10+15cos2x+6cos4x+cos6xr)

Resposta

cos^2x=1+cos2x2, cos^3x=14l(3cos x+cos3xr), cos^4x=18l(3+4cos2x+cos4xr),
cos^5x=116l(10cos x+5cos3x+cos5xr), cos^6x=132l(10+15cos2x+6cos4x+cos6xr);
sin^2x=1-cos2x2, sin^3x=14l(3sin x-sin3xr), sin^4x=18l(3-4cos2x+cos4xr),
sin^5x=116l(10sin x-5sin3x+sin5xr)

Exercícios de Livros Relacionados