Dizemos que dois pares ordenados
e
são iguais quando
e
. Seja
a sentença seguinte.
Se
, então
.
(a) Esta sentença é verdadeira?
(b) Escreva a recíproca de
.
(c) A recíproca de
é verdadeira? Explique.
(a) Esta sentença é verdadeira?
(b) Escreva a recíproca de
(c) A recíproca de
Passo 1
O enunciado define igualdade de pares ordenados pela regra:
A sentença
é
Vamos analisar se
é verdadeira, depois escrever a recíproca e verificar a verdade desta recíproca.
Passo 2
Para verificar se
é verdadeira, usamos a definição de igualdade de pares ordenados. Por hipótese temos
, o que significa que simultaneamente
e
. Logo, a partir de
decorre diretamente que
Portanto, a sentença
é verdadeira.
Passo 3
A recíproca de uma implicação “Se
então
” é a sentença “Se
então
”. Aplicando isso a
, cuja hipótese é
e conclusão é
, a recíproca é:
Passo 4
Para ver se a recíproca é verdadeira, note que “Se
então
” exigiria que de
seguisse também
. Mas não temos nenhuma informação sobre
e
. Por exemplo, com
,
e
temos
mas
Logo a recíproca é falsa.
Resposta
(a) A sentença é verdadeira.
(b) Recíproca: “Se , então
.”
(c) A recíproca é falsa, pois mesmo que , pode ocorrer
.
(b) Recíproca: “Se
(c) A recíproca é falsa, pois mesmo que