Dizemos que dois pares ordenados (a, b) e (c, d) são iguais quando a=c e b=d. Seja s a sentença seguinte.
Se (a, b)=(c, d), então a=c.
(a) Esta sentença é verdadeira?
(b) Escreva a recíproca de s.
(c) A recíproca de s é verdadeira? Explique.

Passo 1

O enunciado define igualdade de pares ordenados pela regra:
(a,b)=(c,d)se, e somente se, a=c e b=d
A sentença s é
Se (a,b)=(c,d), então a=c ã
Vamos analisar se s é verdadeira, depois escrever a recíproca e verificar a verdade desta recíproca.

Passo 2

Para verificar se s é verdadeira, usamos a definição de igualdade de pares ordenados. Por hipótese temos (a,b)=(c,d), o que significa que simultaneamente a=c e b=d. Logo, a partir de (a,b)=(c,d) decorre diretamente que
a=c
Portanto, a sentença s é verdadeira.

Passo 3

A recíproca de uma implicação “Se P então Q” é a sentença “Se Q então P”. Aplicando isso a s, cuja hipótese é (a,b)=(c,d) e conclusão é a=c, a recíproca é:
Se a=c, então (a,b)=(c,d) ã

Passo 4

Para ver se a recíproca é verdadeira, note que “Se a=c então (a,b)=(c,d)” exigiria que de a=c seguisse também b=d. Mas não temos nenhuma informação sobre b e d. Por exemplo, com a=c=1, b=2 e d=3 temos a=c mas
(a,b)=(1,2)neq (1,3)=(c,d)
Logo a recíproca é falsa.

Resposta

(a) A sentença é verdadeira.
(b) Recíproca: “Se a=c, então (a,b)=(c,d).”
(c) A recíproca é falsa, pois mesmo que a=c, pode ocorrer bneq d.

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