(UF-CE) Dois dos ângulos internos de um triângulo têm medidas iguais a 30^circ e 105^circ. Sabendo que o lado oposto ao ângulo de medida 105^circ mede (raiz3+1) cm, é correto afirmar que a área do triângulo mede, em cm ^2 :
a) 12(raiz3+1)
b) 12 raiz3+3
c) 12(raiz3+3)
d) 1+raiz32
e) 2+raiz3

Passo 1

O enunciado dá um triângulo com ângulos de , e , e o lado oposto a mede cm. O conteúdo envolvido é trigonometria de triângulos (lei dos senos) e fórmula da área em função de lados e seno de ângulos.

Passo 2

Para calcular a área podemos usar a fórmula
Área=a^22,sin B;sin Csin A, Á
onde é o lado oposto ao ângulo , e , são os outros ângulos.

Passo 3

Aqui temos
sin A=sin105^circ =sin(60^circ+45^circ) =raiz32cdotraiz22+12cdotraiz22 =raiz6+raiz24 , , e .
Calculamos os senos:
,
,

Passo 4

Formamos o quociente
sin B;sin Csin A =tfrac12cdottfracraiz22tfracraiz6+raiz24 =tfracraiz24tfracraiz6+raiz24 =raiz2raiz6+raiz2 =raiz3-12

Passo 5

Substituindo em
Área =(raiz3+1)^22cdotraiz3-12 =(4+2raiz3)2cdotraiz3-12 =(2+raiz3),raiz3-12 =raiz3+12 Á,
temos
Á

Resposta

a) cm