(UF-CE) Dois dos ângulos internos de um triângulo têm medidas iguais a 30^circ e 105^circ. Sabendo que o lado oposto ao ângulo de medida 105^circ mede (raiz3+1) cm, é correto afirmar que a área do triângulo mede, em cm ^2 :
a) 12(raiz3+1)
b) 12 raiz3+3
c) 12(raiz3+3)
d) 1+raiz32
e) 2+raiz3

Passo 1

O enunciado dá um triângulo com ângulos de 30^circ, 105^circ e 45^circ, e o lado oposto a 105^circ mede raiz3+1 cm. O conteúdo envolvido é trigonometria de triângulos (lei dos senos) e fórmula da área em função de lados e seno de ângulos.

Passo 2

Para calcular a área podemos usar a fórmula
Área=a^22,sin B;sin Csin A, Á
onde a é o lado oposto ao ângulo A, e B, C são os outros ângulos.

Passo 3

Aqui temos
A=105^circ, B=30^circ, C=45^circ e a=raiz3+1.
Calculamos os senos:
sin B=sin30^circ=tfrac12,
sin C=sin45^circ=tfracraiz22,
sin A=sin105^circ =sin(60^circ+45^circ) =raiz32cdotraiz22+12cdotraiz22 =raiz6+raiz24

Passo 4

Formamos o quociente
sin B;sin Csin A =tfrac12cdottfracraiz22tfracraiz6+raiz24 =tfracraiz24tfracraiz6+raiz24 =raiz2raiz6+raiz2 =raiz3-12

Passo 5

Substituindo em
Área=(raiz3+1)^22,sin B;sin Csin AÁ,
temos
Área =(raiz3+1)^22cdotraiz3-12 =(4+2raiz3)2cdotraiz3-12 =(2+raiz3),raiz3-12 =raiz3+12 Á

Resposta

a) tfrac12(raiz3+1) cm ^2

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