(Unicamp-SP) Em um triângulo com vértices A, B e C, inscrevemos um círculo de raio r. Sabe-se que o ângulo  tem 90^circ e que o círculo inscrito tangencia o lado BC no ponto P , dividindo esse lado em dois trechos com comprimento PB=10 e PC=3.
a) Determine r.
b) Determine AB e AC.
c) Determine a área da região que é, ao mesmo tempo, interna ao triângulo e externa ao círculo.

Passo 1

O enunciado descreve um triângulo ABC com ang<= A=90^circ e incírculo de raio r. O incírculo tangencia o lado BC no ponto P, dividindo BC em PB=10 e PC=3. Queremos:
– (a) r.
– (b) AB e AC.
– (c) a área da região interna ao triângulo e externa ao círculo.
Usaremos as propriedades do incírculo (tamanhos dos segmentos tangentes), o semiperímetro, e o Teorema de Pitágoras.

Passo 2

Denotemos
a = BC=13, b = AC, c = AB,
e o semiperímetro
s = a+b+c2
Pelas propriedades do incírculo temos
s - b = PB = 10 e s - c = PC = 3
Escrevendo s=(13+b+c)/2, obtemos
13+b+c2-b=10 ;Longrightarrow; 13 - b + c = 20 ;Longrightarrow; c - b = 7
Como triang<= ABC é retângulo em A, vale
b^2 + c^2 = a^2 = 13^2 = 169
Substituindo c = b+7 em b^2 + (b+7)^2 = 169 resulta
2b^2 + 14b + 49 = 169 ;Longrightarrow; b^2 + 7b - 60 = 0 ;Longrightarrow; b = 5 (descartamos b=-12)
Logo b = 5 e c = b+7 = 12.

Passo 3

Para encontrar r, usamos a fórmula
r = Ts,
onde T é a área do triângulo. Em um triângulo retângulo
T = bcdot c2 = 5cdot122 = 30,
e
s = 5+12+132 = 15
Portanto
r = 3015 = 2
(Alternativamente, em qualquer triângulo r=(b+c-a)/2=(5+12-13)/2=2.)

Passo 4

A região pedida é o conjunto de pontos que estão dentro do triângulo e fora do círculo. Como o círculo está totalmente inscrito no triângulo, essa área é
Área = T - pi r^2 = 30 - picdot2^2 = 30 - 4pi Á

Resposta

r=2; AB=12,;AC=5; área = 30 - 4piá

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