(U.F. Juiz de Fora-MG) Considere uma circunferência de raio
e três circunferências menores de raio
tangentes internas a ela e tangentes externas entre si. A razão entre os raios R e
é:
a) 2
b)
c)
d)
e)
a) 2
b)
c)
d)
e)
Passo 1
O enunciado dá uma circunferência maior de raio
e três circunferências menores de raio
, cada uma tangente internamente à maior e tangente externamente entre si. Queremos encontrar a razão
.
Passo 2
Seja
o centro da circunferência maior e
os centros das três circunferências menores. Como cada pequena está tangente internamente à maior, temos
Como são externamente tangentes entre si, as distâncias entre centros valem
Passo 3
O triângulo
é equilátero de lado
inscrito em uma circunferência de raio
. Para um triângulo equilátero de lado
e circunscrito num círculo de raio
vale
Aqui
e
, então
Passo 4
Da equação
segue
Passo 5
Racionalizando a expressão:
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Resposta
c)