(U.F. Juiz de Fora-MG) Considere uma circunferência de raio R e três circunferências menores de raio r tangentes internas a ela e tangentes externas entre si. A razão entre os raios R e r é:
a) 2
b) 3 raiz32
c) 2 raiz3+33
d) 3(raiz2-2)2
e) 2 raiz3+1

Passo 1

O enunciado dá uma circunferência maior de raio e três circunferências menores de raio , cada uma tangente internamente à maior e tangente externamente entre si. Queremos encontrar a razão .

Passo 2

Seja OA = OB = OC = R - r o centro da circunferência maior e AB = BC = CA = 2r os centros das três circunferências menores. Como cada pequena está tangente internamente à maior, temos
Como são externamente tangentes entre si, as distâncias entre centros valem

Passo 3

O triângulo a = raiz3,Rc é equilátero de lado 2r = raiz3,(R - r) inscrito em uma circunferência de raio . Para um triângulo equilátero de lado e circunscrito num círculo de raio vale
Aqui e , então

Passo 4

Da equação R - r = 2rraiz3 Longrightarrow R = r + 2rraiz3 = rl(1 + 2raiz3r) segue

Passo 5

Racionalizando a expressão:
1 + 2raiz3 = raiz3 + 2raiz3 = 3 + 2raiz33,
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Rr = 3 + 2raiz33

Resposta

c)

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