(U.F. Juiz de Fora-MG) Considere uma circunferência de raio R e três circunferências menores de raio r tangentes internas a ela e tangentes externas entre si. A razão entre os raios R e r é:
a) 2
b) 3 raiz32
c) 2 raiz3+33
d) 3(raiz2-2)2
e) 2 raiz3+1

Passo 1

O enunciado dá uma circunferência maior de raio R e três circunferências menores de raio r, cada uma tangente internamente à maior e tangente externamente entre si. Queremos encontrar a razão Rr.

Passo 2

Seja O o centro da circunferência maior e A,B,C os centros das três circunferências menores. Como cada pequena está tangente internamente à maior, temos
OA = OB = OC = R - r
Como são externamente tangentes entre si, as distâncias entre centros valem
AB = BC = CA = 2r

Passo 3

O triângulo ABC é equilátero de lado 2r inscrito em uma circunferência de raio R - r. Para um triângulo equilátero de lado a e circunscrito num círculo de raio Rc vale
a = raiz3,Rc
Aqui a=2r e Rc=R-r, então
2r = raiz3,(R - r)

Passo 4

Da equação 2r = raiz3,(R - r) segue
R - r = 2rraiz3 Longrightarrow R = r + 2rraiz3 = rl(1 + 2raiz3r)

Passo 5

Racionalizando a expressão:
1 + 2raiz3 = raiz3 + 2raiz3 = 3 + 2raiz33,
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Rr = 3 + 2raiz33

Resposta

c) 2raiz3 + 33

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