Dois cilindros têm a mesma área lateral e raios de 9 cm e 12 cm . Calcule a relação entre seus volumes e a relação entre suas áreas totais, sabendo que a altura do primeiro é 10 cm .

Passo 1

O enunciado dá dois cilindros com mesma área lateral e raios r1=9,cm e r2=12,cm. Sabe-se que a altura do primeiro é h1=10,cm. Queremos achar a altura h2 do segundo usando a igualdade de área lateral, depois calcular a relação entre seus volumes e a relação entre suas áreas totais. Para isso precisamos dos fórmulas:
- Área lateral de um cilindro:
Alat=2pi r h
- Volume de um cilindro:
V=pi r^2 h
- Área total de um cilindro:
Atot=2pi r h + 2pi r^2=2pi r,(h+r)

Passo 2

Como as áreas laterais são iguais, temos
2pi r1 h1 ;=;2pi r2 h2
Cancelando 2pi, obtemos
r1 h1 = r2 h2 Longrightarrow h2 = r1,h1r2 = 9cdot 1012 = 7,5,cm

Passo 3

Agora calculamos os volumes:
V1 = pi r1^2 h1 = pi cdot 9^2 cdot 10 = 810pi,
V2 = pi r2^2 h2 = pi cdot 12^2 cdot 7,5 = 1080pi
Logo a relação dos volumes é
V1:V2 = 810pi : 1080pi = 81:108 = 3:4

Passo 4

Para as áreas totais usamos
A1,tot = 2pi r1,(h1 + r1) = 2picdot 9,(10 + 9) = 342pi,
A2,tot = 2pi r2,(h2 + r2) = 2picdot 12,(7,5 + 12) = 468pi
Assim a relação entre as áreas totais é
A1,tot:A2,tot = 342pi : 468pi = 342:468 = 19:26

Resposta

Relação entre volumes: V1:V2=3:4
Relação entre áreas totais: A1:A2=19:26

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