Resolva os seguintes sistemas de congruências simultâneas:
x equiv 1(bmod 9), x equiv 5(bmod 7), x equiv 3(bmod 5)

Passo 1

O enunciado pede para encontrar x que satisfaça simultaneamente
x equiv 1 pmod9, x equiv 5 pmod7, x equiv 3 pmod5
Como os módulos 9, 7 e 5 são coprimos dois a dois, sabemos pelo Teorema Chinês dos Restos que existe solução única módulo
9 cdot 7 cdot 5 = 315

Passo 2

Começamos pelos dois primeiros congruências. Seja
x = 1 + 9a
Queremos também x equiv 5 pmod7, logo
1 + 9a equiv 5 pmod7 Longrightarrow 9a equiv 4 pmod7
Como 9 equiv 2 pmod7, a congruência vira
2a equiv 4 pmod7 Longrightarrow a equiv 2 pmod7
Portanto escrevemos
a = 2 + 7k,
e então
x = 1 + 9(2+7k) = 19 + 63k

Passo 3

Agora impomos a terceira congruência x equiv 3 pmod5. Substituindo x = 19 + 63k, temos
19 + 63k equiv 3 pmod5
Como 19 equiv 4pmod5 e 63equiv 3pmod5, isso dá
4 + 3k equiv 3 pmod5 Longrightarrow 3k equiv -1 equiv 4 pmod5
O inverso de 3 módulo 5 é 2, então
k equiv 2cdot 4 = 8 equiv 3 pmod5,
isto é k = 3 + 5m. Logo
x = 19 + 63(3+5m) = 19 + 189 + 315m = 208 + 315m

Resposta

A solução geral é
x equiv 208 pmod315

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