Dois triângulos retângulos
e
têm hipotenusa com 1 cm de comprimento. Sabendo que um ângulo agudo de
mede
e que a medida de um dos ângulos agudos de
é
, determine para que valor de
os dois triângulos têm a mesma área.
Passo 1
O enunciado diz que temos dois triângulos retângulos,
e
, cada um com hipotenusa de comprimento
cm. Em
um ângulo agudo mede
e em
um ângulo agudo mede
. Queremos achar
tal que as áreas de
e
sejam iguais. Para isso, vamos:
- Expressar os catetos em função de
usando seno e cosseno. - Escrever a área de cada triângulo.
- Igualar as áreas e resolver para
.
Passo 2
Em um triângulo retângulo de hipotenusa
e ângulo agudo
, os comprimentos dos catetos são:
Logo, a área de
é
Passo 3
De modo análogo, em
com ângulo agudo
e hipotenusa
, os catetos valem
e
. Assim,
Passo 4
Para simplificar, usamos as identidades:
Então
Igualando
dá
As soluções gerais são
-
, que leva a (não serve para agudo), -
, que leva a
Como queremos
, só vale
, ou seja
.