Dois triângulos retângulos T1 e T2 têm hipotenusa com 1 cm de comprimento. Sabendo que um ângulo agudo de T1 mede alpha e que a medida de um dos ângulos agudos de T2 é 2 alpha, determine para que valor de alpha os dois triângulos têm a mesma área.

Passo 1

O enunciado diz que temos dois triângulos retângulos, T1 e T2, cada um com hipotenusa de comprimento 1 cm. Em T1 um ângulo agudo mede alpha e em T2 um ângulo agudo mede 2alpha. Queremos achar alpha tal que as áreas de T1 e T2 sejam iguais. Para isso, vamos:
  1. Expressar os catetos em função de alpha usando seno e cosseno.
  2. Escrever a área de cada triângulo.
  3. Igualar as áreas e resolver para alpha.

Passo 2

Em um triângulo retângulo de hipotenusa 1 e ângulo agudo alpha, os comprimentos dos catetos são:
cateto oposto = sinalpha, cateto adjacente = cosalpha
Logo, a área de T1 é
A1 = tfrac12l(sinalphar)l(cosalphar)

Passo 3

De modo análogo, em T2 com ângulo agudo 2alpha e hipotenusa 1, os catetos valem sin(2alpha) e cos(2alpha). Assim,
A2 = tfrac12l(sin(2alpha)r)l(cos(2alpha)r)

Passo 4

Para simplificar, usamos as identidades:
sin(2alpha)=2sinalphacosalpha, sin(4alpha)=2sin(2alpha)cos(2alpha)
Então
A1 = tfrac12,sinalphacosalpha = tfrac14,sin(2alpha),
A2 = tfrac12,sin(2alpha)cos(2alpha) = tfrac14,sin(4alpha)
Igualando A1 = A2
sin(2alpha) = sin(4alpha)
As soluções gerais são
  1. 2alpha = 4alpha + 2kpi, que leva a alpha = -kpi (não serve para alpha agudo),
  2. 2alpha = pi - 4alpha + 2kpi, que leva a
6alpha = pi + 2kpi Longrightarrow alpha = pi6 + kpi3
Como queremos 0<alpha<tfracpi2, só vale k=0, ou seja alpha = tfracpi6.

Resposta

alpha = pi6

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