Duas circunferências iguais de raio r, tangentes entre si, tangenciam internamente uma outra circunferência de raio 3r. Calcule a menor das duas áreas limitadas por arcos das três circunferências.

Passo 1

O enunciado traz três circunferências: uma de raio 3r (a “externa”) e duas iguais de raio r que se tocam entre si e são tangentes internamente à externa. Precisamos encontrar a menor região limitada por arcos dessas três circunferências. Para isso vamos usar geometria de setores circulares e a disposição dos centros.

Passo 2

Seja O o centro da circunferência de raio 3r, e O1, O2 os centros das duas de raio r. Como cada pequena é tangente internamente à grande, temos
OO1=OO2=3r-r=2r,
e como as pequenas se tangenciam,
O1O2=2r
Logo OO1O2 é um triângulo equilátero de lado 2r, com cada ângulo igual a 60^circ.

Passo 3

A menor região está dentro do setor de 60^circ da circunferência maior (centro O) e fora de dois setores de 60^circ das circunferências menores (centros O1 e O2). Portanto sua área é
área = l(setor de 60^circ em raio 3rr);-;2l(setor de 60^circ em raio rr) á

Passo 4

O setor de 60^circ de uma circunferência de raio R tem área
60^circ360^circ,pi R^2=16pi R^2
Assim:
  • setor maior: 16pi(3r)^2=16picdot9r^2=32pi r^2

Passo 5

O enunciado diz que temos uma circunferência de raio 3r (centro O) e duas de raio r (centros O1 e O2) que se tangenciam entre si e são tangentes internamente à maior. Precisamos achar a menor região limitada por arcos dessas três circunferências.

Passo 6

Como cada circunferência menor é tangente internamente à maior, temos
OO1=OO2=3r-r=2r,
e como as menores se tangenciam entre si,
O1O2=2r
Portanto o triângulo OO1O2 é equilátero de lado 2r, com ângulos de 60^circ.

Passo 7

A região procurada fica dentro do setor de 60^circ na circunferência de raio 3r (centro O) e está excluída dos dois setores de 60^circ nas circunferências de raio r (centros O1 e O2). Logo
Área = l(setor 60^circ de raio 3rr) -2l(setor 60^circ de raio rr) Á

Passo 8

Sabemos que um setor de theta=60^circ em uma circunferência de raio R tem área
theta360^circ,pi R^2 = 16,pi R^2
Logo:
setor maior = 16,pi(3r)^2 = 16cdot9pi r^2 = 32,pi r^2,
setor menor = 16,pi r^2

Passo 9

Subtraindo:
Área = 32pi r^2 ;-;2l(tfrac16pi r^2r) = 32pi r^2 - 13pi r^2 = 76,pi r^2 Á

Resposta

76,pi r^2

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