Duas circunferências iguais de raio
, tangentes entre si, tangenciam internamente uma outra circunferência de raio 3r. Calcule a menor das duas áreas limitadas por arcos das três circunferências.
Passo 1
O enunciado traz três circunferências: uma de raio
(a “externa”) e duas iguais de raio
que se tocam entre si e são tangentes internamente à externa. Precisamos encontrar a menor região limitada por arcos dessas três circunferências. Para isso vamos usar geometria de setores circulares e a disposição dos centros.
Passo 2
Seja
o centro da circunferência de raio
, e
,
os centros das duas de raio
. Como cada pequena é tangente internamente à grande, temos
e como as pequenas se tangenciam,
Logo
é um triângulo equilátero de lado
, com cada ângulo igual a
.
Passo 3
A menor região está dentro do setor de
da circunferência maior (centro
) e fora de dois setores de
das circunferências menores (centros
e
). Portanto sua área é
Passo 4
O setor de
de uma circunferência de raio
tem área
Assim:
- setor maior:
Passo 5
O enunciado diz que temos uma circunferência de raio
(centro
) e duas de raio
(centros
e
) que se tangenciam entre si e são tangentes internamente à maior. Precisamos achar a menor região limitada por arcos dessas três circunferências.
Passo 6
Como cada circunferência menor é tangente internamente à maior, temos
e como as menores se tangenciam entre si,
Portanto o triângulo
é equilátero de lado
, com ângulos de
.
Passo 7
A região procurada fica dentro do setor de
na circunferência de raio
(centro
) e está excluída dos dois setores de
nas circunferências de raio
(centros
e
). Logo
Passo 8
Sabemos que um setor de
em uma circunferência de raio
tem área
Logo:
Passo 9
Subtraindo: