As diagonais de um paralelogramo medem 10 m e 20 m e formam um ângulo de 60^circ. Ache a área do paralelogramo.

Passo 1

O enunciado dá um paralelogramo cujas diagonais medem 10 m e 20 m e formam entre si um ângulo de 60^circ. Vamos usar a interpretação vetorial: tomamos dois vetores a e b que geram o paralelogramo, de modo que as diagonais sejam a+b e a-b. O objetivo é relacionar a área A=|atimesb| às diagonais.

Passo 2

Escrevemos o módulo do produto vetorial entre as diagonais. Sejam
d1 = a + b, d2 = a - b,
então
|d1 times d2| = |d1|,|d2|sin(60^circ) = (20)(10)sin(60^circ) = 200sin(60^circ)

Passo 3

Por outro lado, usando a propriedade do produto vetorial,
(a+b)times(a-b) = atimesa - atimesb + btimesa - btimesb = -2,(atimesb)
Tomando módulo,
|d1 times d2| = 2,|atimesb| = 2,A

Passo 4

Igualando as duas expressões para |d1timesd2|, obtemos
200sin(60^circ) = 2,A Longrightarrow A = 200sin(60^circ)2

Passo 5

Como sin(60^circ)=tfracraiz32, segue
A = 200cdotraiz322 = 100raiz32 = 50raiz3,

Resposta

A área do paralelogramo é 50raiz3,m^2.

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