Calcule a área de um trapézio que se obtém ligando os pontos de tangência de duas retas tangentes externas a dois círculos tangentes exteriormente, sabendo que os raios dos círculos medem 9 cm e 4 cm , e a soma das bases do trapézio 24 cm .

Passo 1

O enunciado dá dois círculos de raios R=9 cm e r=4 cm, cujos centros estão a distância
d = R + r = 9 + 4 = 13 cm
por serem tangentes exteriormente. Duas retas são tangentes a ambos os círculos (tangentes externas) e formam um trapézio ligando os quatro pontos de tangência. Pedem a área desse trapézio, sabendo que a soma das bases é 24 cm.

Passo 2

Para retas tangentes externas, o ângulo alpha que cada reta faz com a linha de centros satisfaz
sinalpha = R - rd, cosalpha = raiz,d^2 - (R - r)^2,d
Aqui
R - r = 5, d^2 - (R - r)^2 = 13^2 - 5^2 = 169 - 25 = 144,
logo
cosalpha = raiz14413 = 1213

Passo 3

Cada base do trapézio é o segmento entre os dois pontos de tangência num mesmo círculo, que mede
b1 = 2,Rcosalpha = 2cdot9cdot1213 = 21613, b2 = 2,rcosalpha = 2cdot4cdot1213 = 9613
De fato
b1+b2 = 216+9613 = 31213 = 24,
confirmando a soma das bases.

Passo 4

A “altura” do trapézio é a distância entre as duas retas verticais que contêm essas bases. Pela geometria das tangentes externas, essa distância fica
h = 2,R = 2cdot9 = 18 cm
(Uma forma de ver isso é coordenar o sistema ao longo da linha de centros e calcular a diferença de abscissas dos pontos de tangência.)

Passo 5

A área do trapézio é
A = b1+b22;h = 242cdot18 = 12cdot18 = 216 cm^2

Resposta

A área do trapézio vale 216 cm^2.

Exercícios de Livros Relacionados