A diagonal maior de um trapézio retângulo é bissetriz do ângulo agudo. Se a altura e a base maior medem 5 m e 25 m , determine a área desse trapézio.

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos um trapézio retângulo ABCD com bases ABparal<=l DC, sendo AB a base maior de comprimento ,25 m e a altura AD=5 m. A diagonal maior é BD e ela bissetriz do ângulo agudo em B. Vamos usar propriedades de interseção de diagonais no trapézio e o Teorema da Bissetriz em triângulos.

Passo 2

Sejam as diagonais AC e BD que se cruzam em E. Num trapézio, vale a relação de divisão na diagonal:
AEEC ;=;ABDC
Aqui AB=25 e vamos chamar DC=x o comprimento da base menor.

Passo 3

Como BD é bissetriz do ângulo ang<= ABC no triângulo ABC, pelo Teorema da Bissetriz em triang<= ABC temos
AEEC ;=;ABBC

Passo 4

Igualando as duas expressões para AE/EC:
ABDC ;=;ABBC Longrightarrow 25x=25BC Longrightarrow BC=x

Passo 5

O lado BC forma um triângulo retângulo com a diferença das bases e a altura, pois ADperp AB. Logo
BC^2=(AB-DC)^2+AD^2 Longrightarrow x^2=(25 - x)^2 + 5^2
Expandindo:
x^2 = 625 -50x + x^2 +25 Longrightarrow 0 = 650 -50x Longrightarrow x = 13

Passo 6

Achamos DC=13 m. A área do trapézio é
Área = (AB + DC)cdot AD2 = (25 + 13)cdot 52 = 95 Á

Resposta

A área do trapézio é 95 m^2.

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