(UE-CE) Duas circunferências em um plano, ambas com a medida do raio igual a 3 m , tangenciam-se externamente. Uma reta , contendo os centros destas circunferências, as intercepta em três pontos P, Q e O, sendo O o ponto de tangência. Duas outras retas, no mesmo plano e perpendiculares à reta , contendo os centros das circunferências as interceptam, respectivamente, nos pontos R, S e U, V. Com estas hipóteses a medida, em , da área do hexágono convexo com vértices nos pontos e S é:
a) 27
b) 54
c) 61
d) 81
Passo 1
O enunciado descreve duas circunferências de raio que se tangenciam externamente num ponto . A reta que passa pelos centros corta as circunferências em , e . Duas retas perpendiculares a , cada uma passando por um dos centros, cortam as circunferências em (para o primeiro centro) e em (para o segundo). A tarefa é achar a área do hexágono convexo com vértices .
Conteúdo: geometria no plano e fórmula do polígono (Regra de Gauss ou “shoelace”).
Passo 2
Escolhemos um sistema de coordenadas conveniente:
– Seja o centro da primeira circunferência em .
– Como elas se tangenciam externamente e têm raio , o centro da segunda, , fica em .
– A reta é o eixo .
Passo 3
Calculamos as interseções:
– Na reta , a circunferência de centro corta em e em .
– Ainda em , a de centro corta em e em .
– A reta perpendicular a em (eixo ) corta a primeira circunferência em
– A reta perpendicular a em (reta ) corta a segunda em
Passo 4
Ordenamos os vértices do hexágono no sentido anti-horário:
Área = tfrac12l|-54 - 54r| = tfrac12times108 = 54 Á
Resposta
54
Cálculo - Osvaldo Dolce, José Nicolau Pompeo - Fundamentos de Matemática Elementar - Vol 9: Geometria Plana - 9ª Edição - Capítulo Questões de vestibulares.Questões de vestibulares - Ex. 321