(UE-CE) Duas circunferências em um plano, ambas com a medida do raio igual a 3 m , tangenciam-se externamente. Uma reta r, contendo os centros destas circunferências, as intercepta em três pontos P, Q e O, sendo O o ponto de tangência. Duas outras retas, no mesmo plano e perpendiculares à reta r, contendo os centros das circunferências as interceptam, respectivamente, nos pontos R, S e U, V. Com estas hipóteses a medida, em m^2, da área do hexágono convexo com vértices nos pontos P, R, U, Q, V e S é:
a) 27
b) 54
c) 61
d) 81

Passo 1

O enunciado descreve duas circunferências de raio 3 que se tangenciam externamente num ponto O. A reta r que passa pelos centros corta as circunferências em P, O e Q. Duas retas perpendiculares a r, cada uma passando por um dos centros, cortam as circunferências em R,S (para o primeiro centro) e em U,V (para o segundo). A tarefa é achar a área do hexágono convexo com vértices P,R,U,Q,V,S.
Conteúdo: geometria no plano e fórmula do polígono (Regra de Gauss ou “shoelace”).

Passo 2

Escolhemos um sistema de coordenadas conveniente:
– Seja o centro da primeira circunferência A em (0,0).
– Como elas se tangenciam externamente e têm raio 3, o centro da segunda, B, fica em (6,0).
– A reta r é o eixo x.

Passo 3

Calculamos as interseções:
– Na reta r, a circunferência de centro A corta em P=(-3,0) e em O=(3,0).
– Ainda em r, a de centro B corta em O=(3,0) e em Q=(9,0).
– A reta perpendicular a r em A (eixo y) corta a primeira circunferência em
R=(0,3)e S=(0,-3)
– A reta perpendicular a r em B (reta x=6) corta a segunda em
U=(6,3)e V=(6,-3)

Passo 4

Ordenamos os vértices do hexágono no sentido anti-horário:
P(-3,0),;R(0,3),;U(6,3),;Q(9,0),;V(6,-3),;S(0,-3)
Aplicamos então a Regra de Gauss (shoelace):
Área = tfrac12gl|sumi=1^6xi,yi+1 - sumi=1^6yi,xi+1gr| Á
com o índice 7equiv1.

Passo 5

Calculamos separadamente as duas somas:
sum xi,yi+1 = (-3)cdot3 + 0cdot3 + 6cdot0 + 9cdot(-3) + 6cdot(-3) + 0cdot0 = -54,
sum yi,xi+1 = 0cdot0 + 3cdot6 + 3cdot9 + 0cdot6 + (-3)cdot0 + (-3)cdot(-3) = 54
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Área = tfrac12l|-54 - 54r| = tfrac12times108 = 54 Á

Resposta

54

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