(UF-CE) Se os valores das medidas dos lados de um triângulo retângulo são termos de uma progressão aritmética de razão 2, então a medida da hipotenusa desse triângulo é:
a) 10 unidades de comprimento.
b) 11 unidades de comprimento.
c) 12 unidades de comprimento.
d) 13 unidades de comprimento.
e) 14 unidades de comprimento.
a) 10 unidades de comprimento.
b) 11 unidades de comprimento.
c) 12 unidades de comprimento.
d) 13 unidades de comprimento.
e) 14 unidades de comprimento.
Passo 1
Resumindo: temos um triângulo retângulo cujos três lados são termos de uma progressão aritmética de razão 2. Precisamos encontrar o valor da hipotenusa. Para isso usaremos a definição de progressão aritmética e o Teorema de Pitágoras.
Passo 2
Seja
o menor lado do triângulo. Como os termos formam uma PA de razão 2, os três lados são
Como no triângulo retângulo a hipotenusa é o maior lado, concluímos que a hipotenusa tem comprimento
e os catetos têm comprimentos
e
.
Passo 3
Pelo Teorema de Pitágoras,
Agora expandimos cada termo:
o que resulta em
Passo 4
Isolando tudo num lado da equação, temos
Usando a fórmula de Bhaskara, o discriminante é
logo
o que dá
ou
. Como o comprimento deve ser positivo, adotamos
.
Passo 5
Com
, os lados do triângulo são
,
e
. O maior deles, que é a hipotenusa, vale
. Confirmamos também que
condição do triângulo retângulo satisfeita.
Resposta
10 unidades de comprimento.