(UF-CE) Se os valores das medidas dos lados de um triângulo retângulo são termos de uma progressão aritmética de razão 2, então a medida da hipotenusa desse triângulo é:
a) 10 unidades de comprimento.
b) 11 unidades de comprimento.
c) 12 unidades de comprimento.
d) 13 unidades de comprimento.
e) 14 unidades de comprimento.

Passo 1

Resumindo: temos um triângulo retângulo cujos três lados são termos de uma progressão aritmética de razão 2. Precisamos encontrar o valor da hipotenusa. Para isso usaremos a definição de progressão aritmética e o Teorema de Pitágoras.

Passo 2

Seja a o menor lado do triângulo. Como os termos formam uma PA de razão 2, os três lados são
a,;a+2,;a+4
Como no triângulo retângulo a hipotenusa é o maior lado, concluímos que a hipotenusa tem comprimento a+4 e os catetos têm comprimentos a e a+2.

Passo 3

Pelo Teorema de Pitágoras,
a^2 + (a+2)^2 = (a+4)^2
Agora expandimos cada termo:
a^2 + l(a^2 + 4a +4r) = a^2 + 8a +16,
o que resulta em
2a^2 + 4a +4 = a^2 +8a +16

Passo 4

Isolando tudo num lado da equação, temos
2a^2 +4a +4 - a^2 -8a -16 =0 Longrightarrow a^2 -4a -12 =0
Usando a fórmula de Bhaskara, o discriminante é
De<a = (-4)^2 - 4cdot1cdot(-12) = 16 + 48 = 64,
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a = 4 pm 82,
o que dá a=6 ou a=-2. Como o comprimento deve ser positivo, adotamos a=6.

Passo 5

Com a=6, os lados do triângulo são 6, 8 e 10. O maior deles, que é a hipotenusa, vale 10. Confirmamos também que
6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100 = 10^2,
condição do triângulo retângulo satisfeita.

Resposta

10 unidades de comprimento.

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