- Resolver a equação de diferenças
em que
são constantes, fazendo
. Mostrar que a solução pode ser expressa sob a forma
, onde
são as raízes (supostas distintas) da equação
. Mostrar, ainda, que a solução assume a forma
, quando
.
Passo 1
O enunciado nos dá uma equação de diferenças de segunda ordem com coeficientes constantes:
onde
e
são constantes. Pede-se usar o ansatz
para obter a forma geral da solução quando as raízes da equação característica
são distintas, e depois tratar o caso degenerado
, em que a equação característica tem raiz dupla.
Passo 2
Assumindo
e substituindo na equação de diferenças, obtemos
e, dividindo por
(com
), vem a equação característica
Suas raízes são
Passo 3
Quando
temos duas soluções independentes
e
. Pela linearidade, a solução geral é
onde
e
são constantes ajustadas às condições iniciais.
Passo 4
No caso
a equação característica fica
isto é, raiz dupla
. Para obter a segunda solução independente usa-se o truque de multiplicar por
, gerando as soluções
e
. Logo a solução geral é
Resposta
A solução geral da equação
com raízes distintas
de
é
Quando
há raiz dupla
e a solução fica