• Resolver a equação de diferenças
un+2+2 a un+1+b un=0,
em que a, b são constantes, fazendo ua=lambda^n. Mostrar que a solução pode ser expressa sob a forma un=alpha r1 ^n+beta r2 ^n, onde r1, r2 são as raízes (supostas distintas) da equação lambda^2+2 a lambda+b=0. Mostrar, ainda, que a solução assume a forma u0=alpha(-a)^a+beta n(-a)^n, quando b=a^2.

Passo 1

O enunciado nos dá uma equação de diferenças de segunda ordem com coeficientes constantes:
un+2 + 2a,un+1 + b,un = 0,
onde a e b são constantes. Pede-se usar o ansatz un = lambda^n para obter a forma geral da solução quando as raízes da equação característica
lambda^2 + 2alambda + b = 0
são distintas, e depois tratar o caso degenerado b = a^2, em que a equação característica tem raiz dupla.

Passo 2

Assumindo un = lambda^n e substituindo na equação de diferenças, obtemos
lambda^n+2 + 2a,lambda^n+1 + b,lambda^n = 0
e, dividindo por lambda^n (com lambdaneq 0), vem a equação característica
lambda^2 + 2alambda + b = 0
Suas raízes são
r1,2 = -2a pm raiz4a^2 - 4b2 ;=;-a pm raiza^2 - b

Passo 3

Quando r1 neq r2 temos duas soluções independentes r1^n e r2^n. Pela linearidade, a solução geral é
un = alpha,r1^n + beta,r2^n,
onde alpha e beta são constantes ajustadas às condições iniciais.

Passo 4

No caso b = a^2 a equação característica fica
lambda^2 + 2alambda + a^2 = (lambda + a)^2 = 0,
isto é, raiz dupla r = -a. Para obter a segunda solução independente usa-se o truque de multiplicar por n, gerando as soluções (-a)^n e n(-a)^n. Logo a solução geral é
un = (alpha + beta,n),(-a)^n

Resposta

A solução geral da equação
un+2 + 2a,un+1 + b,un = 0
com raízes distintas r1,r2 de
lambda^2 + 2alambda + b = 0
é
un = alpha,r1^n + beta,r2^n
Quando b = a^2 há raiz dupla r=-a e a solução fica
un = (alpha + beta,n),(-a)^n

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