- Partindo de
, mostrar que
rem que
tem para limite inferior um número positivo. Mostrar que
é monothamente decrescente para valores sufficientemente graudes de
. (O limite de
, à medida que
, é
.)
Passo 1
O enunciado pede para provar que, para todo
,
onde
permanece sempre acima de alguma constante positiva e, para
grande, a sequência
é monotonicamente decrescente. Por fim, devemos mostrar que
O conteúdo principal envolve transformar o produto em soma de logaritmos, usar comparações com integrais para controlar essa soma e, depois, estudar a razão
.
Passo 2
Definimos
Tomando logaritmo,
Mostraremos que
permanece numa faixa
, o que implica
está entre duas constantes positivas.
Passo 3
Para controlar
usamos a desigualdade de comparação com integrais de função crescente:
Como
os dois integrais acima diferem de
portanto
De modo similar, pelo Teorema de Stirling ou por integral comparada,
Subtraindo estas duas estimativas e retirando
, vemos que
.
Passo 4
Da conclusão anterior segue que existem constantes
tais que
Em particular,
tem limite inferior estritamente positivo.
Passo 5
Para estudar a monotonia de
consideramos a razão
Expandindo em série para
, obtém-se
logo
sempre que
for suficientemente grande. Assim, a partir de algum
,
é decrescente.
Passo 6
Como
é decrescente a partir de certo ponto e fica sempre acima de um limite positivo, ela converge para
Para identificar
usamos a definição clássica da função Gama:
Portanto
Resposta
onde