Determinar se as sćries seguiates são convergentes ou divergentes:
1+1 / 2-1 / 3+1 / 4+1 / 5-1 / 6+1 / 7+1 / 8-1 / 9++-ldots.

Passo 1

O enunciado pede para testar a convergência da série
1 + tfrac12 - tfrac13 + tfrac14 + tfrac15 - tfrac16 + tfrac17 + tfrac18 - tfrac19 + cdots.
O conteúdo é séries infinitas; usaremos agrupamento em blocos e comparação com a série harmônica para decidir convergência.

Passo 2

Note que os sinais repetem em blocos de três termos: dois positivos seguidos de um negativo. Para k=1,2,3,dots defina cada bloco
Bk = 13k-2 ;+;13k-1;-;13k

Passo 3

Vamos estudar o comportamento de Bk para ktoinfty. Usamos a expansão
13k-a =13k,11-a3k approx 13kl(1+a3k+Ol(tfrac1k^2r)r)

Passo 4

Aproximando termo a termo:
13k-2approx 13kl(1+23kr), 13k-1approx 13kl(1+13kr), 13k=13k
Somando e subtraindo,
Bk approx 13kl(1+23kr) +13kl(1+13kr) -13k = 13k + Ol(tfrac1k^2r)

Passo 5

Como Bksimtfrac13k, a soma em blocos até N é
sumk=1^N Bk sim 13sumk=1^N1k,
e a série harmônica sum1/k diverge.

Passo 6

Pelo teste de comparação assintótica, a série dos blocos diverge como a harmônica. Logo a série original diverge.

Resposta

A série é divergente.

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