Duas pirâmides de alturas iguais têm suas bases sobre um mesmo plano. Um plano secciona as duas pirâmides paralelamente às bases, determinando na primeira pirâmide uma seção de área
. Obtenha a área determinada pelo plano na segunda pirâmide, sabendo que as áreas das bases das pirâmides são respectivamente
e
.
Passo 1
O enunciado dá duas pirâmides de mesma altura
com bases sobre o mesmo plano. As áreas das bases são
(pirâmide 1) e
(pirâmide 2). Um plano paralelo às bases corta ambas, produzindo na pirâmide 1 uma seção de área
. Precisamos usar a semelhança de seções transversais em pirâmide (áreas proporcionais ao quadrado da razão linear) para achar a área da seção na pirâmide 2.
Passo 2
Em qualquer pirâmide, uma seção paralela à base forma um polígono semelhante à base, com razão linear
dada por
Na pirâmide 1 temos
Passo 3
Esse
é a razão linear entre a seção e a base, mas também é a razão entre a altura do pequeno topo (acima da seção) e a altura total
. Logo, a distância da seção ao vértice é
e a distância da seção à base é
Passo 4
Na pirâmide 2, a mesma seção está a
acima da base, portanto a razão linear entre essa seção e a base da pirâmide 2 é
Logo, a área da seção na pirâmide 2 é
Resposta
A área da seção determinada na segunda pirâmide é
.