Duas pirâmides de alturas iguais têm suas bases sobre um mesmo plano. Um plano secciona as duas pirâmides paralelamente às bases, determinando na primeira pirâmide uma seção de área 144 cm^2. Obtenha a área determinada pelo plano na segunda pirâmide, sabendo que as áreas das bases das pirâmides são respectivamente 225 cm^2 e 900 cm^2.

Passo 1

O enunciado dá duas pirâmides de mesma altura H com bases sobre o mesmo plano. As áreas das bases são ,225 cm^2 (pirâmide 1) e ,900 cm^2 (pirâmide 2). Um plano paralelo às bases corta ambas, produzindo na pirâmide 1 uma seção de área 144 cm^2. Precisamos usar a semelhança de seções transversais em pirâmide (áreas proporcionais ao quadrado da razão linear) para achar a área da seção na pirâmide 2.

Passo 2

Em qualquer pirâmide, uma seção paralela à base forma um polígono semelhante à base, com razão linear k dada por
k^2 ;=;área da seçãoárea da base áçãá
Na pirâmide 1 temos
k^2 = 144225, k = raiz144225 = 1215 = 45

Passo 3

Esse k=tfrac45 é a razão linear entre a seção e a base, mas também é a razão entre a altura do pequeno topo (acima da seção) e a altura total H. Logo, a distância da seção ao vértice é tfrac45H e a distância da seção à base é
H - tfrac45H = tfrac15H

Passo 4

Na pirâmide 2, a mesma seção está a tfrac15H acima da base, portanto a razão linear entre essa seção e a base da pirâmide 2 é
1 - 15 = 45
Logo, a área da seção na pirâmide 2 é
900 times l(tfrac45r)^2 = 900 times 1625 = 900 div 25 times 16 = 36 times 16 = 576

Resposta

A área da seção determinada na segunda pirâmide é 576 cm^2.

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