Duplicando seu dinheiro Determine quanto tempo é necessário para dobrar o valor de um investimento com uma taxa de juros de 6,25 \% computada mensalmente.

Passo 1

O enunciado pede para descobrir em quanto tempo o valor de um investimento dobra quando os juros são compostos à taxa de 6{,}25\% ao mês. O conteúdo aqui é juros compostos e vamos precisar usar a fórmula do montante e propriedades de logaritmo.

Passo 2

Em juros compostos, o montante M após n períodos partindo de um capital P e taxa mensal i é dado por
M = P\,(1+i)^{n}.

Passo 3

Para dobrar o capital, queremos M = 2P. Substituindo na fórmula e dividindo ambos os lados por P, temos
2 = (1+i)^{n}.
Aqui i = 6{,}25\% ao mês, ou seja i = 0{,}0625.

Passo 4

Aplicando logaritmo natural em ambos os lados para isolar n,
\ln(2) = \ln\bigl((1+0{,}0625)^{n}\bigr) = n \,\ln(1{,}0625),
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n = \frac{\ln(2)}{\ln(1{,}0625)}.

Passo 5

Calculando numericamente
\ln(2)\approx 0{,}6931,\qquad \ln(1{,}0625)\approx 0{,}0606,
então
n \approx \frac{0{,}6931}{0{,}0606} \approx 11{,}43\text{ meses}.

Passo 6

Convertendo a parte fracionária em dias (supondo mês de 30 dias):
0{,}43\times 30 \approx 12{,}9\text{ dias}.
Logo leva cerca de 11 meses e 13 dias para o investimento dobrar.

Resposta

Demora aproximadamente 11 meses e 13 dias para o capital dobrar a 6{,}25\% de juros compostos ao mês.

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