Durante quanto tempo um capital deve ser aplicado a juros compostos, à taxa de 5 % a.t., para que quadruplique seu valor?

Passo 1

O enunciado pergunta: “Durante quanto tempo um capital deve ser aplicado a juros compostos, à taxa de 5% ao período, para que ele fique quatro vezes maior?”
O conteúdo é juros compostos. Vamos usar a fórmula do montante em juros compostos e depois resolver para o tempo usando logaritmos.

Passo 2

Na aplicação a juros compostos, o montante M após t períodos de capitalização é dado por
M = C ,(1 + r)^t,
onde C é o capital inicial e r é a taxa por período. Aqui r = 5% = 0,05.

Passo 3

Queremos que o montante seja quatro vezes o capital, isto é,
4C = C,(1+0,05)^t
Podemos cancelar C dos dois lados, pois é positivo:
4 = (1,05)^t

Passo 4

Para encontrar t, aplicamos logaritmo natural em ambos os lados:
ln 4 = lnl((1,05)^tr) = t ,ln(1,05)
Logo,
t = ln 4ln(1,05)

Passo 5

Bast a calcular numericamente:
ln 4 approx 1,3863, ln(1,05)approx0,04879,
então
t approx 1,38630,04879 approx 28,4

Passo 6

Logo, o capital precisa ficar aplicado cerca de 28,4 períodos de capitalização. Como a taxa é dada “ao tempo” e assume-se período anual, isso corresponde a aproximadamente 28,4 anos.

Resposta

O capital deve ser aplicado por aproximadamente 28,4 anos para quadruplar.

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