(EEAR-2000) A solução da inequação |x-2|+|x-4| >= 6, em U=Re, é o conjunto:
a) S=x in Re mid x >= 6
b) S=x in Re mid x <= 0
c) S=x in Re mid x <= 0 e x >= 6

Passo 1

A gente quer resolver a inequação lvert x-2rvert+lvert x-4rvert>=6 em Re. Como cada valor absoluto muda de expressão nos pontos x=2 e x=4, vamos dividir o eixo real em três intervalos:
  1. x<=2
  2. 2<= x<=4
  3. x>=4

Passo 2

Para x<=2:
lvert x-2rvert=2-x e lvert x-4rvert=4-x, então
lvert x-2rvert+lvert x-4rvert=(2-x)+(4-x)=6-2x
A condição 6-2x>=6 leva a
-2x>=0Longrightarrow x<=0
Como estávamos em x<=2, a solução nesse pedaço é x<=0.

Passo 3

Para 2<= x<=4:
lvert x-2rvert=x-2 e lvert x-4rvert=4-x, logo
lvert x-2rvert+lvert x-4rvert=(x-2)+(4-x)=2
Mas 2>=6 é falso, então não há solução neste intervalo.

Passo 4

Para x>=4:
lvert x-2rvert=x-2 e lvert x-4rvert=x-4, assim
lvert x-2rvert+lvert x-4rvert=(x-2)+(x-4)=2x-6
Impondo 2x-6>=6
2x>=12Longrightarrow x>=6
Como já temos x>=4, concluímos que neste trecho a solução é x>=6.

Passo 5

Juntando tudo, a inequação vale para
x<=0ou x>=6

Resposta

A solução é S=xinRemid x<=0 ou x>=6, isto é, alternativa (c).

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