(UFPE-96) Sejam A e B conjuntos com m e n elementos respectivamente. Analise as seguintes afirmativas:
0) Se f: A B é uma função injetora então m <= n
  1. Se f: A B é uma função sobrejetora então m >= n
  2. Se f: A B é uma função bijetora então m=n
  3. Se f: A B é uma função bijetora então o gráfico de f é um subconjunto de AxB com mxn elementos.
  4. Se m=n o número de funções bijetoras f : A B é m !

Passo 1

O enunciado diz que A e B são conjuntos finitos com lvert Arvert=m e lvert Brvert=n. Precisamos verificar a validade de cinco afirmações sobre injetividade, sobrejetividade, bijetividade e contagem de funções entre esses conjuntos.

Passo 2

Afirmativa 0: “Se fcolon Ato B é injetora então m<= n.”
Como uma função injetora manda elementos distintos de A em elementos distintos de B, não podemos ter mais elementos em A do que em B. Logo, para existir injeção, é necessário ,m<= n. Portanto a afirmativa 0 é verdadeira.

Passo 3

Afirmativa 1: “Se fcolon Ato B é sobrejetora então m>= n.”
Para ser sobrejetora, todo elemento de B deve ter pelo menos um antecessor em A. Não faz sentido cobrir n alvos com menos de n fontes, de modo que é necessário ,m>= n. Logo, a afirmativa 1 é verdadeira.

Passo 4

Afirmativa 2: “Se fcolon Ato B é bijetora então m=n.”
Bijetividade significa injeção e sobrejeção simultâneas. Das condições anteriores segue m<= n e m>= n, o que força m=n. Portanto a afirmativa 2 é verdadeira.

Passo 5

Afirmativa 3: “Se fcolon Ato B é bijetora então o gráfico de f é um subconjunto de Atimes B com mtimes n elementos.”
O gráfico de f é (a,f(a))mid ain A, ou seja, tem exatamente lvert Arvert=m pares. Não tem mtimes n elementos. Logo a afirmativa 3 é falsa.

Passo 6

Afirmativa 4: “Se m=n o número de funções bijetoras fcolon Ato B é m!.”
Quando lvert Arvert=lvert Brvert=m, cada bijeção corresponde a uma permutação de m elementos, e há exatamente m! permutações. Portanto a afirmativa 4 é verdadeira.

Resposta

As afirmativas 0, 1, 2 e 4 são verdadeiras; a afirmativa 3 é falsa.

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