(UFPE-96) Sejam A e B conjuntos com m e
elementos respectivamente. Analise as seguintes afirmativas:
0) Se f: A
B é uma função injetora então
- Se f: A
B é uma função sobrejetora então
- Se f:
é uma função bijetora então
- Se f: A
B é uma função bijetora então o gráfico de f é um subconjunto de AxB com mxn elementos.
- Se
o número de funções bijetoras
:
é
!
0) Se f: A
Passo 1
O enunciado diz que
e
são conjuntos finitos com
e
. Precisamos verificar a validade de cinco afirmações sobre injetividade, sobrejetividade, bijetividade e contagem de funções entre esses conjuntos.
Passo 2
Afirmativa 0: “Se
é injetora então
.”
Como uma função injetora manda elementos distintos de em elementos distintos de
, não podemos ter mais elementos em
do que em
. Logo, para existir injeção, é necessário
. Portanto a afirmativa 0 é verdadeira.
Como uma função injetora manda elementos distintos de
Passo 3
Afirmativa 1: “Se
é sobrejetora então
.”
Para ser sobrejetora, todo elemento de deve ter pelo menos um antecessor em
. Não faz sentido cobrir
alvos com menos de
fontes, de modo que é necessário
. Logo, a afirmativa 1 é verdadeira.
Para ser sobrejetora, todo elemento de
Passo 4
Afirmativa 2: “Se
é bijetora então
.”
Bijetividade significa injeção e sobrejeção simultâneas. Das condições anteriores segue e
, o que força
. Portanto a afirmativa 2 é verdadeira.
Bijetividade significa injeção e sobrejeção simultâneas. Das condições anteriores segue
Passo 5
Afirmativa 3: “Se
é bijetora então o gráfico de
é um subconjunto de
com
elementos.”
O gráfico de é
, ou seja, tem exatamente
pares. Não tem
elementos. Logo a afirmativa 3 é falsa.
O gráfico de
Passo 6
Afirmativa 4: “Se
o número de funções bijetoras
é
.”
Quando , cada bijeção corresponde a uma permutação de
elementos, e há exatamente
permutações. Portanto a afirmativa 4 é verdadeira.
Quando
Resposta
As afirmativas 0, 1, 2 e 4 são verdadeiras; a afirmativa 3 é falsa.