(EEAR-2003) Em um triângulo ABC , a bissetriz do ângulo A encontra \overline{B C} em D, e a circunferência circunscrita, em E. Sendo \mathrm{AE}=9 \mathrm{~cm} e \mathrm{DE}=4 \mathrm{~cm}, então a medida \overline{\mathrm{EB}}, em cm, é
a) 6 .
b) 5 .
c) 2 \sqrt{5}.
d) 3 \sqrt{2}.

Passo 1

O enunciado dá um triângulo ABC em que a bissetriz do ângulo \angle A corta BC em D e a circunferência circunscrita em E. Sabemos que AE=9,cm e DE=4,cm. Queremos EB. Para resolver vamos usar:
1. O teorema do poder de um ponto em D: DA\cdot DE=DB\cdot DC.
2. O teorema da bissetriz interna: \tfrac{DB}{DC}=\tfrac{AB}{AC}.
3. A fórmula do comprimento da bissetriz: AD^2=AB\cdot AC - DB\cdot DC.
4. O teorema de Ptolomeu no quadrilátero cíclico ABEC: AB\cdot EC + AC\cdot BE = AE\cdot BC.
5. O fato de que, como AE é bissetriz interna, E é o ponto médio do arco BC (não contendo A), logo BE=EC.

Passo 2

Calculemos primeiro AD. Como AE=9 e DE=4,
AD = AE - DE = 9 - 4 = 5.
Pelo poder de ponto em D:
DA\cdot DE = DB\cdot DC \quad\Longrightarrow\quad 5\cdot 4 = DB\cdot DC \quad\Longrightarrow\quad DB\cdot DC = 20.

Passo 3

Defina
P = AB\cdot AC, \quad S = AB + AC.
Pela bissetriz interna,
\frac{DB}{DC} = \frac{AB}{AC},
e como DB+DC=BC, obtém-se
DB\cdot DC = \frac{BC^2\,(AB\cdot AC)}{(AB+AC)^2} = \frac{BC^2\,P}{S^2}.
Já sabemos que isso vale 20, logo
\frac{BC^2\,P}{S^2} = 20.

Passo 4

Pela fórmula da bissetriz temos
AD^2 = AB\cdot AC - DB\cdot DC \quad\Longrightarrow\quad 5^2 = P - 20 \quad\Longrightarrow\quad 25 = P - 20 \quad\Longrightarrow\quad P = 45.

Passo 5

Do item do poder de D escrevemos
\frac{BC^2}{S^2} = \frac{20}{P} = \frac{20}{45} = \frac{4}{9} \quad\Longrightarrow\quad \frac{BC}{S} = \frac{2}{3}.

Passo 6

Agora aplicamos Ptolomeu em ABEC, lembrando que BE=EC:
AB\cdot EC + AC\cdot BE = AE\cdot BC \;\Longrightarrow\; (AB+AC)\,BE = 9\cdot BC \;\Longrightarrow\; BE = 9\,\frac{BC}{AB+AC} = 9\cdot\frac{2}{3} = 6.

Resposta

6

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