(IME-83/84) Dá-se um quadrilátero convexo inscritível em um círculo, cujos lados são cordas deste círculo e de comprimentos a, b, c e d e que se sucedem na ordem
.
- Calcule, em função de a, b, c, d os comprimentos das diagonais x e y.
- Permutando a ordem de sucessão das cordas, deduza, com auxílio de figuras, se as diagonais dos novos quadriláteros obtidos têm comprimentos diferentes de
e de
.
Passo 1
Temos um quadrilátero convexo inscrito num círculo, cujos vértices em ordem são
e os lados
,
,
e
. Chamamos de
a diagonal
e de
a diagonal
. O conteúdo principal é geometria de quadrilátero cíclico, usando o Teorema de Ptolemy e a Lei dos Cossenos em triângulos formados por uma diagonal.
Passo 2
Aplicamos o Teorema de Ptolemy ao quadrilátero
. Ele diz que
ou seja
Passo 3
Para obter cada um dos valores
e
separadamente, usamos a Lei dos Cossenos nos triângulos
e
que têm a diagonal
. Seja
.
No triângulo :
No triângulo
No triângulo
, como
(opostos somam
em quadrilátero cíclico),
Passo 4
Igualamos as duas expressões de
:
Reagrupando,
Passo 5
Substituímos
em, por exemplo,
:
No numerador,
Logo
Passo 6
De modo análogo, para a outra diagonal
usamos os triângulos
e
. Um cálculo idêntico (trocando ciclicamente
) leva a
Passo 7
Concluímos então:
Passo 8
Agora, se permutarmos a ordem de sucessão das cordas (por exemplo, trocando
e
, ou fazendo qualquer outra reordenação), as fórmulas acima mudam de denominador e de numerador. Consequentemente, as novas diagonais
e
dos quadriláteros obtidos terão valores diferentes de
e
, salvo em casos especiais em que as combinações
,
e os numeradores coincidam numericamente. Geometricamente, mudar a ordem dos lados altera as somas dos produtos de pares opostos, quebrando o equilíbrio dado pelas expressões acima, logo as diagonais mudam de comprimento.
Resposta
Ao permutar as cordas, as expressões para
e
mudam, portanto as diagonais são, em geral, diferentes das originais.