(IME-83/84) Dá-se um quadrilátero convexo inscritível em um círculo, cujos lados são cordas deste círculo e de comprimentos a, b, c e d e que se sucedem na ordem \mathrm{a}, \mathrm{b}, \mathrm{c}, \mathrm{d}.
  1. Calcule, em função de a, b, c, d os comprimentos das diagonais x e y.
  2. Permutando a ordem de sucessão das cordas, deduza, com auxílio de figuras, se as diagonais dos novos quadriláteros obtidos têm comprimentos diferentes de x e de y.

Passo 1

Temos um quadrilátero convexo inscrito num círculo, cujos vértices em ordem são A,B,C,D e os lados AB=a, BC=b, CD=c e DA=d. Chamamos de x a diagonal AC e de y a diagonal BD. O conteúdo principal é geometria de quadrilátero cíclico, usando o Teorema de Ptolemy e a Lei dos Cossenos em triângulos formados por uma diagonal.

Passo 2

Aplicamos o Teorema de Ptolemy ao quadrilátero ABCD. Ele diz que
AB\cdot CD \;+\; BC\cdot DA \;=\; AC\cdot BD
ou seja
a\,c \;+\; b\,d \;=\; x\,y.

Passo 3

Para obter cada um dos valores x e y separadamente, usamos a Lei dos Cossenos nos triângulos ABC e ADC que têm a diagonal AC. Seja \theta = \angle ABC.
No triângulo ABC:
x^2 \;=\; AB^2 + BC^2 -2\,(AB)(BC)\cos\theta \;\Rightarrow\; x^2 = a^2 + b^2 -2ab\cos\theta.
No triângulo ADC, como \angle ADC = \pi - \theta (opostos somam \pi em quadrilátero cíclico),
x^2 = AD^2 + DC^2 -2\,(AD)(DC)\cos(\pi-\theta) = d^2 + c^2 +2cd\cos\theta.

Passo 4

Igualamos as duas expressões de x^2:
a^2 + b^2 -2ab\cos\theta \;=\; c^2 + d^2 +2cd\cos\theta.
Reagrupando,
(a^2 + b^2 - c^2 - d^2) \;=\;2\cos\theta\,(ab + cd) \;\Rightarrow\; \cos\theta =\frac{a^2 + b^2 - c^2 - d^2}{2\,(ab + cd)}.

Passo 5

Substituímos \cos\theta em, por exemplo, x^2 = a^2 + b^2 -2ab\cos\theta:
x^2 = a^2 + b^2 -2ab\;\frac{a^2 + b^2 - c^2 - d^2}{2\,(ab + cd)} = \frac{(ab+cd)(a^2+b^2)\;-\;ab\,(a^2+b^2-c^2-d^2)}{ab+cd}.
No numerador,
(ab+cd)(a^2+b^2)-ab(a^2+b^2)+ab(c^2+d^2) = cd(a^2+b^2)+ab(c^2+d^2).
Logo
\boxed{ x^2 = \frac{\,ab(c^2+d^2)+cd(a^2+b^2)\,}{ab+cd} }.

Passo 6

De modo análogo, para a outra diagonal y=BD usamos os triângulos BCD e BAD. Um cálculo idêntico (trocando ciclicamente a,b,c,d) leva a
\boxed{ y^2 = \frac{\,bc(a^2+d^2)+ad(b^2+c^2)\,}{bc+ad} }.

Passo 7

Concluímos então:
x = \sqrt{\frac{ab(c^2+d^2)+cd(a^2+b^2)}{ab+cd}} \quad,\quad y = \sqrt{\frac{bc(a^2+d^2)+ad(b^2+c^2)}{bc+ad}}.

Passo 8

Agora, se permutarmos a ordem de sucessão das cordas (por exemplo, trocando b e c, ou fazendo qualquer outra reordenação), as fórmulas acima mudam de denominador e de numerador. Consequentemente, as novas diagonais x' e y' dos quadriláteros obtidos terão valores diferentes de x e y, salvo em casos especiais em que as combinações (ab+cd), (bc+ad) e os numeradores coincidam numericamente. Geometricamente, mudar a ordem dos lados altera as somas dos produtos de pares opostos, quebrando o equilíbrio dado pelas expressões acima, logo as diagonais mudam de comprimento.

Resposta

x = \displaystyle\sqrt{\frac{ab(c^2+d^2)+cd(a^2+b^2)}{ab+cd}},
y = \displaystyle\sqrt{\frac{bc(a^2+d^2)+ad(b^2+c^2)}{bc+ad}}.
Ao permutar as cordas, as expressões para x e y mudam, portanto as diagonais são, em geral, diferentes das originais.

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