(IME-70) Calcule as diagonais
e
BD do quadrilátero ABCD inscrito numa circunferência de raio R. Dados:
;
.
Passo 1
O enunciado fornece um quadrilátero
inscrito numa circunferência de raio
com lados
,
,
e
.
Precisamos determinar as diagonais e
em função de
. Para isso usaremos o Teorema de Ptolomeu, a Lei dos Cossenos em triângulos formados pelas diagonais e a Lei dos Senos.
Precisamos determinar as diagonais
Passo 2
Pelo Teorema de Ptolomeu, num quadrilátero cíclico vale
Passo 3
Considere o triângulo
e o triângulo
. Aplicando a Lei dos Cossenos em ambos e lembrando que
(logo
), obtemos
Dessa forma
Pela Lei dos Senos no triângulo
,
Assim
.
Passo 4
Analogamente, considere os triângulos
e
. Pela Lei dos Cossenos e sabendo que
, segue
Pela Lei dos Senos no triângulo
,
Logo
.