(IME-70) Calcule as diagonais \alpha=\mathrm{AC} e \beta= BD do quadrilátero ABCD inscrito numa circunferência de raio R. Dados:
\mathrm{a}=\mathrm{AB}=2 \mathrm{~m} ; \mathrm{b}=\mathrm{BC}=5 \mathrm{~m};
\mathrm{c}=\mathrm{CD}=6 \mathrm{~m} ; \mathrm{d}=\mathrm{DA}=3 \mathrm{~m}.

Passo 1

O enunciado fornece um quadrilátero ABCD inscrito numa circunferência de raio R com lados
\displaystyle a=AB=2\rm\,m, \displaystyle b=BC=5\rm\,m, \displaystyle c=CD=6\rm\,m e \displaystyle d=DA=3\rm\,m.
Precisamos determinar as diagonais \alpha=AC e \beta=BD em função de R. Para isso usaremos o Teorema de Ptolomeu, a Lei dos Cossenos em triângulos formados pelas diagonais e a Lei dos Senos.

Passo 2

Pelo Teorema de Ptolomeu, num quadrilátero cíclico vale
AC \cdot BD = AB\cdot CD + BC\cdot DA = a\,c + b\,d = 2\cdot6 + 5\cdot3 = 27.

Passo 3

Considere o triângulo ABC e o triângulo ADC. Aplicando a Lei dos Cossenos em ambos e lembrando que \angle ABC + \angle ADC = 180^\circ (logo \cos\angle ADC = -\cos\angle ABC), obtemos
\cos\angle ABC = \frac{a^2 + b^2 - (c^2 + d^2)}{2\,(a\,b + c\,d)} = \frac{2^2 + 5^2 - (6^2 + 3^2)}{2(2\cdot5 + 6\cdot3)} = -\frac{2}{7}.
Dessa forma
\sin\angle ABC = \sqrt{1 - \cos^2\angle ABC} = \sqrt{1 - \frac{4}{49}} = \frac{3\sqrt{5}}{7}.
Pela Lei dos Senos no triângulo ABC,
\frac{AC}{\sin\angle ABC} = 2R \quad\Longrightarrow\quad AC = 2R \,\sin\angle ABC = 2R \cdot \frac{3\sqrt{5}}{7} = \frac{6\sqrt{5}\,R}{7}.
Assim \alpha = AC = \frac{6\sqrt{5}\,R}{7}.

Passo 4

Analogamente, considere os triângulos ABD e BCD. Pela Lei dos Cossenos e sabendo que \angle BAD + \angle BCD = 180^\circ, segue
\cos\angle BAD = \frac{a^2 + d^2 - (b^2 + c^2)}{2\,(a\,d + b\,c)} = \frac{2^2 + 3^2 - (5^2 + 6^2)}{2(2\cdot3 + 5\cdot6)} = -\frac{2}{3},
\sin\angle BAD = \sqrt{1 - \cos^2\angle BAD} = \sqrt{1 - \frac{4}{9}} = \frac{\sqrt{5}}{3}.
Pela Lei dos Senos no triângulo ABD,
\frac{BD}{\sin\angle BAD} = 2R \quad\Longrightarrow\quad BD = 2R \,\sin\angle BAD = 2R \cdot \frac{\sqrt{5}}{3} = \frac{2\sqrt{5}\,R}{3}.
Logo \beta = BD = \frac{2\sqrt{5}\,R}{3}.

Resposta

\displaystyle \alpha = AC = \frac{6\sqrt{5}\,R}{7},\quad \beta = BD = \frac{2\sqrt{5}\,R}{3}.

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