(EEAR-2006) O conjunto dos valores reais de x para os quais a expressão x-1|x^2-10 x+21| é
estritamente positiva é
a) x in I R / x>1
b) x in IR / x>3 e x neq 7
c) x in IR / x<1 ou 3<x<7

Passo 1

O enunciado pede os valores de xinR tais que
x-1l|x^2-10x+21r|>0
Isso é uma inequação envolvendo valor absoluto. Para resolver, vamos:
  1. Determinar onde o denominador se anula (domínio).
  2. Observar o sinal do denominador (por causa do valor absoluto).
  3. Observar o sinal do numerador.
  4. Combinar essas informações para achar a solução.

Passo 2

Primeiro, achamos as raízes do polinômio x^2-10x+21.
Resolvendo x^2-10x+21=0, temos
x=10pmraiz100-842=10pm42,
logo as raízes são x=3 e x=7. Estas devem ser excluídas do domínio, pois ali o denominador ficaria zero.

Passo 3

Fora de x=3 e x=7, o valor l|x^2-10x+21r| é sempre positivo. Portanto, para efeitos de sinal da fração,
x-1l|x^2-10x+21r|>0 Long<=ftrightarrow x-1>0

Passo 4

A inequação x-1>0 é satisfeita exatamente quando x>1. Lembrando que já excluímos x=3 e x=7 por serem zeros do denominador, a solução é
,x>1setminus3,7,
mas normalmente escrevemos simplesmente x>1, entendendo que 3 e 7 não pertencem ao domínio da expressão.

Resposta

a) xinRmid x>1

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