(EEAR-2004) Considere a equação |3 x-6|= x+2. Com respeito às raízes dessa equação, podemos afirmar que elas pertencem ao intervalo
a) [1,2].
b) ] 2,5[.
c) ] 0,4].

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação de valor absoluto
|3x-6| = x+2
e, em seguida, determinar em qual dos intervalos dados as raízes se encontram. O conteúdo é resolução de equações com módulo, que se faz dividindo em casos conforme o sinal da expressão interna.

Passo 2

Observamos que o segundo membro x+2 deve ser não negativo, logo x+2>=0Rightarrow x>=-2. Em seguida dividimos em dois casos para o módulo:
Caso 1: 3x-6>=0, isto é, x>=2.
A equação vira
3x-6 = x+2
Caso 2: 3x-6<0, isto é, x<2.
A equação vira
-(3x-6) = x+2

Passo 3

Resolvendo cada caso:
No Caso 1:
3x-6 = x+2 Longrightarrow 2x = 8 Longrightarrow x = 4,
e 4>=2 satisfaz a hipótese.
No Caso 2:
-3x+6 = x+2 Longrightarrow -4x = -4 Longrightarrow x = 1,
e 1<2 satisfaz a hipótese.
Portanto as raízes são x=1 e x=4.

Passo 4

Verificamos qual intervalo dado contém ambas as raízes 1 e 4:
a) [1,2] contém 1 mas não contém 4.
b) ]2,5[ contém 4 mas não contém 1.
c) ]0,4] contém 1 e também 4.

Resposta

c) ]0,4]

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