Ao efetuarmos o produto dos polinômios abaixo
(1+x+x^2+ldots+x^100) cdot(1+x+x^2+ldots+x^50)
qual o coeficiente de x^75 ? (Observação: os polinômios têm graus 100 e 50 e todos os coeficientes iguais a 1.)

Passo 1

O enunciado pede o coeficiente de x^75 no produto
l(1+x+x^2+cdots+x^100r)cdotl(1+x+x^2+cdots+x^50r).
O conteúdo é a convolução de coeficientes de polinômios (ou séries geradoras finitas).

Passo 2

Ao multiplicar dois polinômios, o coeficiente de x^75 é a soma dos produtos dos coeficientes cujos expoentes somam 75. Como todos os coeficientes são 1, basta contar o número de pares (i,j) tais que
i + j = 75,
com 0 <= i <= 100 e 0 <= j <= 50.

Passo 3

Da condição i+j=75 obtemos j=75-i. Para j ficar no intervalo permitido, precisamos de
0 <= 75 - i <= 50,
isto é,
75 - i >= 0 implies i <= 75,
75 - i <= 50 implies i >= 25
Além disso i já está naturalmente em 0 <= i <= 100. A interseção é
25 <= i <= 75

Passo 4

O número de inteiros i de 25 a 75 é
75 - 25 + 1 = 51

Resposta

51

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