(UE-CE). Os números complexos z=x+y i e w=y+x i satisfazem às igualdades |z|+|w|=16. Se z barw-w barz=0, em que barz=x-y i e barw=y-x i, então o valor da soma |x|+|y| é:
8 raiz2

Passo 1

O enunciado nos dá os números complexos
z = x + yi e w = y + xi,
e impõe as condições
|z| + |w| = 16 e zbarw - wbarz = 0,
sendo barz=x-yi e barw=y-xi.
Conteúdos necessários: módulo de número complexo, conjugado e álgebra de números complexos.

Passo 2

Vamos expandir zbarw e wbarz.
zbarw = (x + yi)(y - xi) = xy - x^2 i + y^2 i - xyi^2 = 2xy + i(y^2 - x^2),
wbarz = (y + xi)(x - yi) = yx - y^2 i + x^2 i - xyi^2 = 2xy + i(x^2 - y^2)
Logo,
zbarw - wbarz = l[2xy + i(y^2 - x^2)r] - l[2xy + i(x^2 - y^2)r] = 2i,(y^2 - x^2)

Passo 3

Da condição zbarw-wbarz=0 segue
2i,(y^2 - x^2) = 0 Longrightarrow y^2 = x^2 Longrightarrow x = pm y

Passo 4

Calculamos os módulos:
|z| = raizx^2 + y^2, |w| = raizy^2 + x^2 = raizx^2 + y^2
Então
|z| + |w| = 2raizx^2 + y^2 = 16 Longrightarrow raizx^2 + y^2 = 8 Longrightarrow x^2 + y^2 = 64
Como x^2 = y^2, temos
2x^2 = 64 Longrightarrow x^2 = 32 Longrightarrow |x| = raiz32 = 4raiz2, |y| = |x| = 4raiz2

Passo 5

Finalmente,
|x| + |y| = 4raiz2 + 4raiz2 = 8raiz2

Resposta

8raiz2

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