(EFOMM-20) Seja a matriz A
\left|\begin{array}{ccccc} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\\\ 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\\\ 1 & 4 & 9 & 16 & 25 \\\\ 1 & 8 & 27 & 64 & 125 \\\\ 1 & 16 & 81 & 256 & 625 \end{array}\right|
Qual é o valor do determinante da matriz A?
a) 96
b) 98
c) 100
d) 144
e) 288

Passo 1

O enunciado fornece a matriz A\in\mathbb{R}^{5\times5} cujos elementos são
A_{i,j} = j^{\,i-1},\quad i,j=1,\dots,5
e pede o valor de \det(A). O conteúdo aqui é a fórmula do determinante de uma matriz de Vandermonde.

Passo 2

Reconhecemos que A é a transposta da matriz de Vandermonde definida pelos nós
x_1=1,\;x_2=2,\;x_3=3,\;x_4=4,\;x_5=5.
Como \det(A)=\det(A^T), vale a mesma fórmula de Vandermonde:
\det(A)=\prod_{1\le i<j\le5}\bigl(x_j - x_i\bigr).

Passo 3

Substituímos x_i = i para i=1,\dots,5, de modo que as diferenças x_j - x_i = j - i. Logo
\det(A)=\prod_{1\le i<j\le5}(j - i).

Passo 4

Listando as diferenças e agrupando por valor:
  • j-i=1 ocorre 4 vezes, contribuindo com 1^4.
  • j-i=2 ocorre 3 vezes, contribuindo com 2^3.
  • j-i=3 ocorre 2 vezes, contribuindo com 3^2.
  • j-i=4 ocorre 1 vez, contribuindo com 4^1.
Portanto
\det(A)=1^4\cdot2^3\cdot3^2\cdot4 =1\cdot8\cdot9\cdot4 =288.

Resposta

288
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