(UFPB-99) Sendo a . b e c as medidas dos lados de um triângulo, cujos angulos internos opostos são \hat{A}, \hat{B} e \hat{C}, respectivamente, calcule o determinante da matriz: M=\left[\begin{array}{ccc}\operatorname{sen} \hat{A} & \cos \hat{A} & a \\\ \operatorname{sen} \hat{B} & \cos \hat{B} & b \\\ \operatorname{sen} \hat{C} & \cos \hat{C} & c\end{array}\right]
Passo 1
O enunciado dá uma matriz
M = \begin{pmatrix} \sin \hat A & \cos \hat A & a\\\ \sin \hat B & \cos \hat B & b\\\ \sin \hat C & \cos \hat C & c \end{pmatrix}
cuja determinante queremos calcular. Sabemos que \hat A+\hat B+\hat C=\pi e que, pela lei dos senos,
a = 2R\sin\hat A,\quad b = 2R\sin\hat B,\quad c = 2R\sin\hat C
para o mesmo R.
Passo 2
Vamos expandir \det M por Laplace na primeira linha. Chamando \det M = D, temos
D = \sin \hat{A}\, \begin{vmatrix} \cos \hat{B} & b \\[6pt] \cos \hat{C} & c \end{vmatrix} - \cos \hat{A}\, \begin{vmatrix} \sin \hat{B} & b \\[6pt] \sin \hat{C} & c \end{vmatrix} + a\, \begin{vmatrix} \sin \hat{B} & \cos \hat{B} \\[6pt] \sin \hat{C} & \cos \hat{C} \end{vmatrix}.
Calculando cada 2\times 2, obtemos
D = \sin \hat{A} \bigl(c \cos \hat{B} - b \cos \hat{C}\bigr) - \cos \hat{A} \bigl(c \sin \hat{B} - b \sin \hat{C}\bigr) + a \bigl(\sin \hat{B} \cos \hat{C} - \cos \hat{B} \sin \hat{C}\bigr).]
Passo 3
Reescrevendo em função de diferenças de ângulos, note que
\sin\hat A\,c\cos\hat B - \cos\hat A\,c\sin\hat B = c\sin\bigl(\hat A-\hat B\bigr),
D = c\,\sin(\hat A-\hat B)\;+\;b\,\sin(\hat C-\hat A)\;+\;a\,\sin(\hat B-\hat C).
Passo 4
Pela lei dos senos escrevemos a=2R\sin\hat A, etc. Então
D = 2R\Bigl[\sin\hat C\,\sin(\hat A-\hat B) +\sin\hat B\,\sin(\hat C-\hat A) +\sin\hat A\,\sin(\hat B-\hat C)\Bigr].
Defina
S = \sin\hat C\,\sin(\hat A-\hat B) +\sin\hat B\,\sin(\hat C-\hat A) +\sin\hat A\,\sin(\hat B-\hat C),
de modo que D=2R\,S.
Passo 5
Para mostrar S=0, expandimos cada produto usando \sin(X-Y)=\sin X\cos Y-\cos X\sin Y. Fazendo isso em cada termo de S, verifica–se que todos os seis subtermos cancelam dois a dois. Logo
S=0 \quad\Longrightarrow\quad D = 2R\,S = 0.
Resposta
\det M = 0.
Cálculo - Marcelo Rufino de Oliveira - Elementos da matemática - Vol 3 - 3ª Edição - Capítulo 11.Exercícios - Ex. 28