(Unicamp-99) Considere as matrizes:
M=\left(\begin{array}{ccc}\cos \theta & \operatorname{sen} \theta & 0 \\\\ -\operatorname{sen} \theta & \cos \theta & 0 \\\\ 0 & 0 & 1\end{array}\right), X=\left(\begin{array}{l}x \\\ y \\\ z\end{array}\right) e Y=\left(\begin{array}{l}1 \\\\ 0 \\\\ 3\end{array}\right).
a) Calcule o determinante de M e a matriz inversa de M.
b) Resolva o sistema M X=Y

Passo 1

O enunciado nos dá a matriz de rotação em torno do eixo z
M = \begin{pmatrix} \cos\theta & \operatorname{sen}\theta & 0 \\\\ -\operatorname{sen}\theta & \cos\theta & 0 \\\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}
e o sistema
M\,X = Y,\quad Y = \begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ 3\end{pmatrix},\;X=\begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix}.
Precisamos calcular \det(M), a inversa M^{-1} e, em seguida, resolver para X.

Passo 2

Para \det(M) observe que o bloco 2\times2 principal é
\begin{pmatrix} \cos\theta & \operatorname{sen}\theta \\\\ -\operatorname{sen}\theta & \cos\theta \end{pmatrix}
e a linha/coluna correspondentes ao z contribuem com 1. Logo,
\det(M) = 1 \cdot \bigl(\cos\theta\cdot\cos\theta - (\operatorname{sen}\theta)(-\operatorname{sen}\theta)\bigr) = \cos^2\theta + \operatorname{sen}^2\theta = 1.

Passo 3

Como M é ortogonal ( M^\top M = I), tem-se
M^{-1} = M^\top = \begin{pmatrix} \cos\theta & -\operatorname{sen}\theta & 0 \\\ \operatorname{sen}\theta & \cos\theta & 0 \\\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.

Passo 4

Multiplicando M X = Y por M^{-1} à esquerda, obtemos
X = M^{-1}Y = \begin{pmatrix} \cos\theta & -\operatorname{sen}\theta & 0 \\\ \operatorname{sen}\theta & \cos\theta & 0 \\\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ 3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos\theta \\\ \operatorname{sen}\theta \\\\ 3 \end{pmatrix}.

Resposta

\det(M)=1
M^{-1} = \begin{pmatrix} \cos\theta & -\operatorname{sen}\theta & 0 \\\ \operatorname{sen}\theta & \cos\theta & 0 \\\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \quad\text{e}\quad X = \begin{pmatrix} \cos\theta \\\ \operatorname{sen}\theta \\\\ 3 \end{pmatrix}.
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