1. (AFA-13) Considere as matrizes A e B, inversiveis e de ordem n, bem como a matriz identidade I. Sabendo que \operatorname{det}(A) =5 \mathrm{e} \operatorname{det}\left(\mathrm{I} . \mathrm{B}^{-1} . \mathrm{A}\right)=1 / 3, então o \operatorname{det} [(3.( B^{-1} \cdot A^{-1} )] é igual a
    a) 5.3^{n}
    b) 3^{n-1} / 5^{2}
    c) 3^{n} / 15
    d) 3^{n-1}

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos duas matrizes invertíveis A e B de ordem n com
\det(A)=5
e
\det\bigl(I\,B^{-1}A\bigr)=\tfrac13.
Queremos calcular
\det\bigl(3\,(B^{-1}A^{-1})\bigr).
O conteúdo principal será usar as propriedades
  1. \det(XY)=\det(X)\,\det(Y)
  2. \det(X^{-1})=1/\det(X)
  3. \det(cX)=c^{n}\det(X) para escalar c.

Passo 2

Da igualdade
\det\bigl(B^{-1}A\bigr)=\tfrac13
temos
\det(B^{-1})\,\det(A)=\tfrac13 \quad\Longrightarrow\quad \frac{1}{\det(B)}\;5=\frac13.

Passo 3

Resolvendo
\frac{5}{\det(B)}=\frac13 \quad\Longrightarrow\quad \det(B)=15.

Passo 4

Agora aplicamos a propriedade de múltiplo escalar e produto:
\det\bigl(3\,(B^{-1}A^{-1})\bigr) =3^{n}\,\det(B^{-1}A^{-1}) =3^{n}\,\det(B^{-1})\,\det(A^{-1}) =3^{n}\,\frac{1}{\det(B)}\,\frac{1}{\det(A)}.

Passo 5

Substituindo \det(B)=15 e \det(A)=5, fica
\det\bigl(3\,(B^{-1}A^{-1})\bigr) =\frac{3^{n}}{15\cdot5} =\frac{3^{n}}{75} =\frac{3^{n-1}}{25}.

Resposta

b) \displaystyle \frac{3^{n-1}}{5^{2}}
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