(Mackenzie-17) Para a matriz juadrada M=\left[\begin{array}{ccc}\cos 17^{\circ} & 0 & \operatorname{sen} 17^{\circ} \\\\ 1 & 1 & 1 \\\ \operatorname{sen} 28^{\circ} & 0 & \cos 28^{\circ}\end{array}\right] o 'alor do determinante de \mathrm{M}^{10} é
a) 1 / 16
b) 1 / 32
c) 1 / 64
d) 1 / 128
e) 1 / 256

Passo 1

O enunciado dá a matriz quadrada
M=\begin{pmatrix} \cos17^\circ & 0 & \sin17^\circ\\\\ 1 & 1 & 1\\\ \sin28^\circ & 0 & \cos28^\circ \end{pmatrix}
e pede o valor de \det(M^{10}). O conteúdo envolvido é determinante de matriz e sua propriedade em potência de matriz.

Passo 2

Usamos a propriedade de determinantes para potência de matriz:
\det(M^{10}) = \bigl(\det(M)\bigr)^{10}.

Passo 3

Vamos calcular \det(M) expandindo pela primeira linha:
\det(M) = \cos17^\circ\cdot\det\begin{pmatrix}1 & 1\\\ 0 & \cos28^\circ\end{pmatrix} - 0\cdot\det(\cdots) + \sin17^\circ\cdot\det\begin{pmatrix}1 & 1\\sin28^\circ & 0\end{pmatrix}.
Isso dá
\det(M)=\cos17^\circ\cdot(1\cdot\cos28^\circ-1\cdot0) +\sin17^\circ\cdot(1\cdot0-1\cdot\sin28^\circ) =\cos17^\circ\,\cos28^\circ-\sin17^\circ\,\sin28^\circ.

Passo 4

Reconhecemos a identidade trigonométrica
\cos a\cos b - \sin a\sin b = \cos(a+b).
Aqui a=17^\circ e b=28^\circ, logo
\det(M)=\cos(17^\circ+28^\circ)=\cos45^\circ=\frac{\sqrt2}{2}.

Passo 5

Agora elevamos ao décimo:
\det(M^{10})=\Bigl(\tfrac{\sqrt2}{2}\Bigr)^{10} =\bigl(2^{-\tfrac12}\bigr)^{10} =2^{-5} =\frac1{32}.

Resposta

b) 1/32
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